微分積分例

$\frac{d y}{d x} - \frac{3 y}{x} = x^{4}$

ステップ 1

微分方程式を $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ として書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$y$ を $- \frac{3 y}{x}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{3}{x}) = x^{4}$

ステップ 1.2

$y$ と $- \frac{3}{x}$ を並べ替えます。

$\frac{d y}{d x} - \frac{3}{x} y = x^{4}$

ステップ 2

$P (x) = - \frac{3}{x}$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

積分を設定します。

$e^{\int - \frac{3}{x} d x}$

ステップ 2.2

$- \frac{3}{x}$ を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$e^{- \int \frac{3}{x} d x}$

ステップ 2.2.2

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$e^{- (3 \int \frac{1}{x} d x)}$

ステップ 2.2.3

$3$ に $- 1$ をかけます。

$e^{- 3 \int \frac{1}{x} d x}$

ステップ 2.2.4

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$e^{- 3 (\ln (| x |) + C)}$

ステップ 2.2.5

簡約します。

$e^{- 3 \ln (| x |) + C}$

ステップ 2.3

積分定数を削除します。

$e^{- 3 \ln (x)}$

ステップ 2.4

対数のべき乗則を利用します。

$e^{\ln (x^{- 3})}$

ステップ 2.5

指数関数と対数関数は逆関数です。

$x^{- 3}$

ステップ 2.6

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{1}{x^{3}}$

ステップ 3

各項に積分因数 $\frac{1}{x^{3}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

各項に $\frac{1}{x^{3}}$ を掛けます。

$\frac{1}{x^{3}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{3}} (- \frac{3}{x} y) = \frac{1}{x^{3}} x^{4}$

ステップ 3.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$\frac{1}{x^{3}}$ と $\frac{d y}{d x}$ をまとめます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}} (- \frac{3}{x} y) = \frac{1}{x^{3}} x^{4}$

ステップ 3.2.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}} (\frac{3}{x} y) = \frac{1}{x^{3}} x^{4}$

ステップ 3.2.3

$\frac{3}{x}$ と $y$ をまとめます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{3 y}{x} = \frac{1}{x^{3}} x^{4}$

ステップ 3.2.4

$- \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{3 y}{x}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.4.1

$\frac{3 y}{x}$ に $\frac{1}{x^{3}}$ をかけます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x \cdot x^{3}} = \frac{1}{x^{3}} x^{4}$

ステップ 3.2.4.2

指数を足して $x$ に $x^{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.4.2.1

$x$ に $x^{3}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.4.2.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{1} x^{3}} = \frac{1}{x^{3}} x^{4}$

ステップ 3.2.4.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{1 + 3}} = \frac{1}{x^{3}} x^{4}$

ステップ 3.2.4.2.2

$1$ と $3$ をたし算します。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = \frac{1}{x^{3}} x^{4}$

ステップ 3.3

$x^{3}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$x^{3}$ を $x^{4}$ で因数分解します。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = \frac{1}{x^{3}} (x^{3} x)$

ステップ 3.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = \frac{1}{x^{3}} (x^{3} x)$

ステップ 3.3.3

式を書き換えます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = x$

ステップ 4

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}} y] = x$

ステップ 5

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}} y] d x = \int x d x$

ステップ 6

左辺を積分します。

$\frac{1}{x^{3}} y = \int x d x$

ステップ 7

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$\frac{1}{x^{3}} y = \frac{1}{2} x^{2} + C$

ステップ 8

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$\frac{1}{x^{3}}$ と $y$ をまとめます。

$\frac{y}{x^{3}} = \frac{1}{2} x^{2} + C$

ステップ 8.2

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\frac{y}{x^{3}} = \frac{x^{2}}{2} + C$

ステップ 8.3

両辺に $x^{3}$ を掛けます。

$\frac{y}{x^{3}} x^{3} = (\frac{x^{2}}{2} + C) x^{3}$

ステップ 8.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.1.1

$x^{3}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y}{x^{3}} x^{3} = (\frac{x^{2}}{2} + C) x^{3}$

ステップ 8.4.1.1.2

式を書き換えます。

$y = (\frac{x^{2}}{2} + C) x^{3}$

ステップ 8.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.2.1

$(\frac{x^{2}}{2} + C) x^{3}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.2.1.1

分配則を当てはめます。

$y = \frac{x^{2}}{2} x^{3} + C x^{3}$

ステップ 8.4.2.1.2

$\frac{x^{2}}{2} x^{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.2.1.2.1

$\frac{x^{2}}{2}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$y = \frac{x^{2} x^{3}}{2} + C x^{3}$

ステップ 8.4.2.1.2.2

指数を足して $x^{2}$ に $x^{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.2.1.2.2.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y = \frac{x^{2 + 3}}{2} + C x^{3}$

ステップ 8.4.2.1.2.2.2

$2$ と $3$ をたし算します。

$y = \frac{x^{5}}{2} + C x^{3}$

微分積分 例

微分積分例