微分積分例

$e^{2 x} d y + (2 e^{2 x} y - x) d x = 0$

ステップ 1

微分方程式を完全微分方程式法に合うように書き換えます。

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ステップ 1.1

書き換えます。

$(2 e^{2 x} y - x) d x + e^{2 x} d y = 0$

ステップ 2

$M (x, y) = 2 e^{2 x} y - x$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

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ステップ 2.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 e^{2 x} y - x]$

ステップ 2.2

総和則では、 $2 e^{2 x} y - x$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [2 e^{2 x} y] + \frac{d}{d y} [- x]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 e^{2 x} y] + \frac{d}{d y} [- x]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d y} [2 e^{2 x} y]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$2 e^{2 x}$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $2 e^{2 x} y$ の微分係数は $2 e^{2 x} \frac{d}{d y} [y]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x]$

ステップ 2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- x]$

ステップ 2.3.3

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} + \frac{d}{d y} [- x]$

ステップ 2.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 2.4.1

$- x$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $- x$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} + 0$

ステップ 2.4.2

$2 e^{2 x}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x}$

ステップ 3

$N (x, y) = e^{2 x}$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

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ステップ 3.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

ステップ 3.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x$ とします。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 3.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 3.2.3

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 3.3

微分します。

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ステップ 3.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{2 x} (2 \cdot 1)$

ステップ 3.3.3

式を簡約します。

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ステップ 3.3.3.1

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{2 x} \cdot 2$

ステップ 3.3.3.2

$2$ を $e^{2 x}$ の左に移動させます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 e^{2 x}$

ステップ 4

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

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ステップ 4.1

$2 e^{2 x}$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $2 e^{2 x}$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$2 e^{2 x} = 2 e^{2 x}$

ステップ 4.2

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$2 e^{2 x} = 2 e^{2 x}$ は恒等式です。

ステップ 5

$f (x, y)$ は $N (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int e^{2 x} d y$

ステップ 6

$N (x, y) = e^{2 x}$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

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ステップ 6.1

定数の法則を当てはめます。

$f (x, y) = e^{2 x} y + C$

ステップ 7

$g (x)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (x)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = e^{2 x} y + g (x)$

ステップ 8

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 e^{2 x} y - x$

ステップ 9

$\frac{\partial f}{\partial x}$ を求めます。

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ステップ 9.1

$x$ に関して $f$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} y + g (x)] = 2 e^{2 x} y - x$

ステップ 9.2

総和則では、 $e^{2 x} y + g (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [e^{2 x} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 e^{2 x} y - x$

ステップ 9.3

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} y]$ の値を求めます。

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ステップ 9.3.1

$y$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $e^{2 x} y$ の微分係数は $y \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ です。

$y \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 e^{2 x} y - x$

ステップ 9.3.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 9.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x$ とします。

$y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 e^{2 x} y - x$

ステップ 9.3.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$y (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 e^{2 x} y - x$

ステップ 9.3.2.3

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$y (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 e^{2 x} y - x$

ステップ 9.3.3

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$y (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 e^{2 x} y - x$

ステップ 9.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$y (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 e^{2 x} y - x$

ステップ 9.3.5

$2$ に $1$ をかけます。

$y (e^{2 x} \cdot 2) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 e^{2 x} y - x$

ステップ 9.3.6

$2$ を $e^{2 x}$ の左に移動させます。

$y (2 \cdot e^{2 x}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 e^{2 x} y - x$

ステップ 9.3.7

$2$ を $y$ の左に移動させます。

$2 y e^{2 x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 e^{2 x} y - x$

ステップ 9.4

$g (x)$ の微分係数は $\frac{d g}{d x}$ であるという関数の規則を使って微分します。

$2 y e^{2 x} + \frac{d g}{d x} = 2 e^{2 x} y - x$

ステップ 9.5

簡約します。

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ステップ 9.5.1

項を並べ替えます。

$\frac{d g}{d x} + 2 e^{2 x} y = 2 e^{2 x} y - x$

ステップ 9.5.2

$\frac{d g}{d x} + 2 e^{2 x} y$ の因数を並べ替えます。

$\frac{d g}{d x} + 2 y e^{2 x} = 2 e^{2 x} y - x$

ステップ 10

$\frac{d g}{d x}$ について解きます。

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ステップ 10.1

$\frac{d g}{d x}$ について解きます。

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ステップ 10.1.1

$2 e^{2 x} y - x$ の因数を並べ替えます。

$\frac{d g}{d x} + 2 y e^{2 x} = 2 y e^{2 x} - x$

ステップ 10.1.2

$\frac{d g}{d x}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 10.1.2.1

方程式の両辺から $2 y e^{2 x}$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} = 2 y e^{2 x} - x - 2 y e^{2 x}$

ステップ 10.1.2.2

$2 y e^{2 x} - x - 2 y e^{2 x}$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 10.1.2.2.1

$2 y e^{2 x}$ から $2 y e^{2 x}$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} = - x + 0$

ステップ 10.1.2.2.2

$- x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d g}{d x} = - x$

ステップ 11

$- x$ の不定積分を求めて $g (x)$ を求めます。

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ステップ 11.1

$\frac{d g}{d x} = - x$ の両辺を積分します。

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - x d x$

ステップ 11.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ の値を求めます。

$g (x) = \int - x d x$

ステップ 11.3

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$g (x) = - \int x d x$

ステップ 11.4

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$g (x) = - (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

ステップ 11.5

$- (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ を $- \frac{1}{2} x^{2} + C$ に書き換えます。

$g (x) = - \frac{1}{2} x^{2} + C$

ステップ 12

$f (x, y) = e^{2 x} y + g (x)$ の $g (x)$ に代入します。

$f (x, y) = e^{2 x} y - \frac{1}{2} x^{2} + C$

ステップ 13

$f (x, y) = e^{2 x} y - \frac{1}{2} x^{2} + C$ を簡約します。

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ステップ 13.1

$x^{2}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$f (x, y) = e^{2 x} y - \frac{x^{2}}{2} + C$

ステップ 13.2

$f (x, y) = e^{2 x} y - \frac{x^{2}}{2} + C$ の因数を並べ替えます。

$f (x, y) = y e^{2 x} - \frac{x^{2}}{2} + C$

微分積分 例

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