微分積分例

$(2 x + 3) y^{6} d x + x^{4} (4 y + 5) d y = 0$

ステップ 1

方程式の両辺から $(2 x + 3) y^{6} d x$ を引きます。

$x^{4} (4 y + 5) d y = - (2 x + 3) y^{6} d x$

ステップ 2

両辺に $\frac{1}{x^{4} y^{6}}$ を掛けます。

$\frac{1}{x^{4} y^{6}} (x^{4} (4 y + 5)) d y = \frac{1}{x^{4} y^{6}} (- (2 x + 3) y^{6}) d x$

ステップ 3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$x^{4}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

$x^{4}$ を $x^{4} y^{6}$ で因数分解します。

$\frac{1}{x^{4} (y^{6})} (x^{4} (4 y + 5)) d y = \frac{1}{x^{4} y^{6}} (- (2 x + 3) y^{6}) d x$

ステップ 3.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{x^{4} y^{6}} (x^{4} (4 y + 5)) d y = \frac{1}{x^{4} y^{6}} (- (2 x + 3) y^{6}) d x$

ステップ 3.1.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{y^{6}} (4 y + 5) d y = \frac{1}{x^{4} y^{6}} (- (2 x + 3) y^{6}) d x$

ステップ 3.2

$\frac{1}{y^{6}}$ に $4 y + 5$ をかけます。

$\frac{4 y + 5}{y^{6}} d y = \frac{1}{x^{4} y^{6}} (- (2 x + 3) y^{6}) d x$

ステップ 3.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{4 y + 5}{y^{6}} d y = - \frac{1}{x^{4} y^{6}} ((2 x + 3) y^{6}) d x$

ステップ 3.4

$y^{6}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$- \frac{1}{x^{4} y^{6}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{4 y + 5}{y^{6}} d y = \frac{- 1}{x^{4} y^{6}} ((2 x + 3) y^{6}) d x$

ステップ 3.4.2

$y^{6}$ を $x^{4} y^{6}$ で因数分解します。

$\frac{4 y + 5}{y^{6}} d y = \frac{- 1}{y^{6} x^{4}} ((2 x + 3) y^{6}) d x$

ステップ 3.4.3

$y^{6}$ を $(2 x + 3) y^{6}$ で因数分解します。

$\frac{4 y + 5}{y^{6}} d y = \frac{- 1}{y^{6} x^{4}} (y^{6} (2 x + 3)) d x$

ステップ 3.4.4

共通因数を約分します。

$\frac{4 y + 5}{y^{6}} d y = \frac{- 1}{y^{6} x^{4}} (y^{6} (2 x + 3)) d x$

ステップ 3.4.5

式を書き換えます。

$\frac{4 y + 5}{y^{6}} d y = \frac{- 1}{x^{4}} (2 x + 3) d x$

ステップ 3.5

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{4 y + 5}{y^{6}} d y = - \frac{1}{x^{4}} (2 x + 3) d x$

ステップ 3.6

分配則を当てはめます。

$\frac{4 y + 5}{y^{6}} d y = (- \frac{1}{x^{4}} (2 x) - \frac{1}{x^{4}} \cdot 3) d x$

ステップ 3.7

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1

$- \frac{1}{x^{4}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{4 y + 5}{y^{6}} d y = (\frac{- 1}{x^{4}} (2 x) - \frac{1}{x^{4}} \cdot 3) d x$

ステップ 3.7.2

$x$ を $x^{4}$ で因数分解します。

$\frac{4 y + 5}{y^{6}} d y = (\frac{- 1}{x \cdot x^{3}} (2 x) - \frac{1}{x^{4}} \cdot 3) d x$

ステップ 3.7.3

$x$ を $2 x$ で因数分解します。

$\frac{4 y + 5}{y^{6}} d y = (\frac{- 1}{x \cdot x^{3}} (x \cdot 2) - \frac{1}{x^{4}} \cdot 3) d x$

ステップ 3.7.4

共通因数を約分します。

$\frac{4 y + 5}{y^{6}} d y = (\frac{- 1}{x \cdot x^{3}} (x \cdot 2) - \frac{1}{x^{4}} \cdot 3) d x$

ステップ 3.7.5

式を書き換えます。

$\frac{4 y + 5}{y^{6}} d y = (\frac{- 1}{x^{3}} \cdot 2 - \frac{1}{x^{4}} \cdot 3) d x$

ステップ 3.8

$\frac{- 1}{x^{3}}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{4 y + 5}{y^{6}} d y = (\frac{- 1 \cdot 2}{x^{3}} - \frac{1}{x^{4}} \cdot 3) d x$

ステップ 3.9

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{4 y + 5}{y^{6}} d y = (\frac{- 2}{x^{3}} - \frac{1}{x^{4}} \cdot 3) d x$

ステップ 3.10

$- \frac{1}{x^{4}} \cdot 3$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.10.1

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{4 y + 5}{y^{6}} d y = (\frac{- 2}{x^{3}} - 3 \frac{1}{x^{4}}) d x$

ステップ 3.10.2

$- 3$ と $\frac{1}{x^{4}}$ をまとめます。

$\frac{4 y + 5}{y^{6}} d y = (\frac{- 2}{x^{3}} + \frac{- 3}{x^{4}}) d x$

ステップ 3.11

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.11.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{4 y + 5}{y^{6}} d y = (- \frac{2}{x^{3}} + \frac{- 3}{x^{4}}) d x$

ステップ 3.11.2

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{4 y + 5}{y^{6}} d y = (- \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}}) d x$

ステップ 4

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{4 y + 5}{y^{6}} d y = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

ステップ 4.2

左辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

$y^{6}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int (4 y + 5) {(y^{6})}^{- 1} d y = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

ステップ 4.2.1.2

${(y^{6})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int (4 y + 5) y^{6 \cdot - 1} d y = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

ステップ 4.2.1.2.2

$6$ に $- 1$ をかけます。

$\int (4 y + 5) y^{- 6} d y = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

ステップ 4.2.2

$(4 y + 5) y^{- 6}$ を掛けます。

$\int 4 y \cdot y^{- 6} + 5 y^{- 6} d y = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

ステップ 4.2.3

指数を足して $y$ に $y^{- 6}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1

$y^{- 6}$ を移動させます。

$\int 4 (y^{- 6} y) + 5 y^{- 6} d y = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

ステップ 4.2.3.2

$y^{- 6}$ に $y$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.2.1

$y$ を $1$ 乗します。

$\int 4 (y^{- 6} y^{1}) + 5 y^{- 6} d y = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

ステップ 4.2.3.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int 4 y^{- 6 + 1} + 5 y^{- 6} d y = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

ステップ 4.2.3.3

$- 6$ と $1$ をたし算します。

$\int 4 y^{- 5} + 5 y^{- 6} d y = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

ステップ 4.2.4

単一積分を複数積分に分割します。

$\int 4 y^{- 5} d y + \int 5 y^{- 6} d y = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

ステップ 4.2.5

$4$ は $y$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$4 \int y^{- 5} d y + \int 5 y^{- 6} d y = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

ステップ 4.2.6

べき乗則では、 $y^{- 5}$ の $y$ に関する積分は $- \frac{1}{4} y^{- 4}$ です。

$4 (- \frac{1}{4} y^{- 4} + C_{1}) + \int 5 y^{- 6} d y = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

ステップ 4.2.7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.7.1

$y^{- 4}$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$4 (- \frac{y^{- 4}}{4} + C_{1}) + \int 5 y^{- 6} d y = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

ステップ 4.2.7.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $y^{- 4}$ を分母に移動させます。

$4 (- \frac{1}{4 y^{4}} + C_{1}) + \int 5 y^{- 6} d y = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

ステップ 4.2.8

$5$ は $y$ に対して定数なので、 $5$ を積分の外に移動させます。

$4 (- \frac{1}{4 y^{4}} + C_{1}) + 5 \int y^{- 6} d y = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

ステップ 4.2.9

べき乗則では、 $y^{- 6}$ の $y$ に関する積分は $- \frac{1}{5} y^{- 5}$ です。

$4 (- \frac{1}{4 y^{4}} + C_{1}) + 5 (- \frac{1}{5} y^{- 5} + C_{2}) = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

ステップ 4.2.10

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.10.1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.10.1.1

$y^{- 5}$ と $\frac{1}{5}$ をまとめます。

$4 (- \frac{1}{4 y^{4}} + C_{1}) + 5 (- \frac{y^{- 5}}{5} + C_{2}) = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

ステップ 4.2.10.1.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $y^{- 5}$ を分母に移動させます。

$4 (- \frac{1}{4 y^{4}} + C_{1}) + 5 (- \frac{1}{5 y^{5}} + C_{2}) = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

ステップ 4.2.10.2

簡約します。

$\frac{- 1}{y^{4}} + 5 (- \frac{1}{5 y^{5}}) + C_{3} = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

ステップ 4.2.10.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.10.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{y^{4}} + 5 (- \frac{1}{5 y^{5}}) + C_{3} = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

ステップ 4.2.10.3.2

$- 1$ に $5$ をかけます。

$- \frac{1}{y^{4}} - 5 \frac{1}{5 y^{5}} + C_{3} = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

ステップ 4.2.10.3.3

$- 5$ と $\frac{1}{5 y^{5}}$ をまとめます。

$- \frac{1}{y^{4}} + \frac{- 5}{5 y^{5}} + C_{3} = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

ステップ 4.2.10.3.4

$- 5$ と $5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.10.3.4.1

$5$ を $- 5$ で因数分解します。

$- \frac{1}{y^{4}} + \frac{5 \cdot - 1}{5 y^{5}} + C_{3} = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

ステップ 4.2.10.3.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.10.3.4.2.1

$5$ を $5 y^{5}$ で因数分解します。

$- \frac{1}{y^{4}} + \frac{5 \cdot - 1}{5 (y^{5})} + C_{3} = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

ステップ 4.2.10.3.4.2.2

共通因数を約分します。

$- \frac{1}{y^{4}} + \frac{5 \cdot - 1}{5 y^{5}} + C_{3} = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

ステップ 4.2.10.3.4.2.3

式を書き換えます。

$- \frac{1}{y^{4}} + \frac{- 1}{y^{5}} + C_{3} = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

ステップ 4.2.10.3.5

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

ステップ 4.3

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

単一積分を複数積分に分割します。

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = \int - \frac{2}{x^{3}} d x + \int - \frac{3}{x^{4}} d x$

ステップ 4.3.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = - \int \frac{2}{x^{3}} d x + \int - \frac{3}{x^{4}} d x$

ステップ 4.3.3

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = - (2 \int \frac{1}{x^{3}} d x) + \int - \frac{3}{x^{4}} d x$

ステップ 4.3.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.4.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = - 2 \int \frac{1}{x^{3}} d x + \int - \frac{3}{x^{4}} d x$

ステップ 4.3.4.2

$x^{3}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = - 2 \int {(x^{3})}^{- 1} d x + \int - \frac{3}{x^{4}} d x$

ステップ 4.3.4.3

${(x^{3})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.4.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = - 2 \int x^{3 \cdot - 1} d x + \int - \frac{3}{x^{4}} d x$

ステップ 4.3.4.3.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = - 2 \int x^{- 3} d x + \int - \frac{3}{x^{4}} d x$

ステップ 4.3.5

べき乗則では、 $x^{- 3}$ の $x$ に関する積分は $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ です。

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = - 2 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C_{4}) + \int - \frac{3}{x^{4}} d x$

ステップ 4.3.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.6.1

$x^{- 2}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = - 2 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C_{4}) + \int - \frac{3}{x^{4}} d x$

ステップ 4.3.6.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- 2}$ を分母に移動させます。

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{4}) + \int - \frac{3}{x^{4}} d x$

ステップ 4.3.7

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{4}) - \int \frac{3}{x^{4}} d x$

ステップ 4.3.8

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{4}) - (3 \int \frac{1}{x^{4}} d x)$

ステップ 4.3.9

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.9.1

$3$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{4}) - 3 \int \frac{1}{x^{4}} d x$

ステップ 4.3.9.2

$x^{4}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{4}) - 3 \int {(x^{4})}^{- 1} d x$

ステップ 4.3.9.3

${(x^{4})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.9.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{4}) - 3 \int x^{4 \cdot - 1} d x$

ステップ 4.3.9.3.2

$4$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{4}) - 3 \int x^{- 4} d x$

ステップ 4.3.10

べき乗則では、 $x^{- 4}$ の $x$ に関する積分は $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ です。

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{4}) - 3 (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C_{5})$

ステップ 4.3.11

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.11.1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.11.1.1

$x^{- 3}$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{4}) - 3 (- \frac{x^{- 3}}{3} + C_{5})$

ステップ 4.3.11.1.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- 3}$ を分母に移動させます。

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{4}) - 3 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C_{5})$

ステップ 4.3.11.2

簡約します。

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = - \frac{- 1}{x^{2}} - 3 (- \frac{1}{3 x^{3}}) + C_{6}$

ステップ 4.3.11.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.11.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = - - \frac{1}{x^{2}} - 3 (- \frac{1}{3 x^{3}}) + C_{6}$

ステップ 4.3.11.3.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = 1 \frac{1}{x^{2}} - 3 (- \frac{1}{3 x^{3}}) + C_{6}$

ステップ 4.3.11.3.3

$\frac{1}{x^{2}}$ に $1$ をかけます。

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = \frac{1}{x^{2}} - 3 (- \frac{1}{3 x^{3}}) + C_{6}$

ステップ 4.3.11.3.4

$- 1$ に $- 3$ をかけます。

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = \frac{1}{x^{2}} + 3 \frac{1}{3 x^{3}} + C_{6}$

ステップ 4.3.11.3.5

$3$ と $\frac{1}{3 x^{3}}$ をまとめます。

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = \frac{1}{x^{2}} + \frac{3}{3 x^{3}} + C_{6}$

ステップ 4.3.11.3.6

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.11.3.6.1

共通因数を約分します。

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = \frac{1}{x^{2}} + \frac{3}{3 x^{3}} + C_{6}$

ステップ 4.3.11.3.6.2

式を書き換えます。

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}} + C_{6}$

ステップ 4.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} = \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}} + K$

微分積分 例

微分積分例