微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{3 x}$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

両辺に $\frac{1}{y}$ を掛けます。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{3 x}$

ステップ 1.2

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{3 x}$

ステップ 1.2.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 x}$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{3 x} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{1}{3 x} d x$

ステップ 2.2

$\frac{1}{y}$ の $y$ に関する積分は $\ln (| y |)$ です。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{3 x} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$\frac{1}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.3.2

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} (\ln (| x |) + C_{2})$

ステップ 2.3.3

簡約します。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} \ln (| x |) + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\ln (| y |) = \frac{1}{3} \ln (| x |) + C$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

右辺を簡約します。

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ステップ 3.1.1

$\frac{1}{3}$ と $\ln (| x |)$ をまとめます。

$\ln (| y |) = \frac{\ln (| x |)}{3} + C$

ステップ 3.2

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| x |)}{3} = C$

ステップ 3.3

左辺を簡約します。

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ステップ 3.3.1

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| x |)}{3}$ を簡約します。

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ステップ 3.3.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.3.1.1.1

$\frac{\ln (| x |)}{3}$ を $\frac{1}{3} \ln (| x |)$ に書き換えます。

$\ln (| y |) - (\frac{1}{3} \ln (| x |)) = C$

ステップ 3.3.1.1.2

対数の中の $\frac{1}{3}$ を移動させて $\frac{1}{3} \ln (| x |)$ を簡約します。

$\ln (| y |) - \ln ({| x |}^{\frac{1}{3}}) = C$

ステップ 3.3.1.2

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\ln (\frac{| y |}{{| x |}^{\frac{1}{3}}}) = C$

ステップ 3.4

$y$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (\frac{| y |}{{| x |}^{\frac{1}{3}}})} = e^{C}$

ステップ 3.5

対数の定義を利用して $\ln (\frac{| y |}{{| x |}^{\frac{1}{3}}}) = C$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{C} = \frac{| y |}{{| x |}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 3.6

$y$ について解きます。

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ステップ 3.6.1

方程式を $\frac{| y |}{{| x |}^{\frac{1}{3}}} = e^{C}$ として書き換えます。

$\frac{| y |}{{| x |}^{\frac{1}{3}}} = e^{C}$

ステップ 3.6.2

両辺に ${| x |}^{\frac{1}{3}}$ を掛けます。

$\frac{| y |}{{| x |}^{\frac{1}{3}}} {| x |}^{\frac{1}{3}} = e^{C} {| x |}^{\frac{1}{3}}$

ステップ 3.6.3

左辺を簡約します。

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ステップ 3.6.3.1

${| x |}^{\frac{1}{3}}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.6.3.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{| y |}{{| x |}^{\frac{1}{3}}} {| x |}^{\frac{1}{3}} = e^{C} {| x |}^{\frac{1}{3}}$

ステップ 3.6.3.1.2

式を書き換えます。

$| y | = e^{C} {| x |}^{\frac{1}{3}}$

ステップ 3.6.4

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$y = \pm e^{C} {| x |}^{\frac{1}{3}}$

ステップ 4

定数項をまとめます。

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ステップ 4.1

積分定数を簡約します。

$y = \pm C {| x |}^{\frac{1}{3}}$

ステップ 4.2

定数を正または負でまとめます。

$y = C {| x |}^{\frac{1}{3}}$

微分積分 例

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