微分積分例

$x \frac{d y}{d x} - 3 y = x^{2}$

ステップ 1

微分方程式を $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ として書き換えます。

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ステップ 1.1

$x \frac{d y}{d x} - 3 y = x^{2}$ の各項を $x$ で割ります。

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- 3 y}{x} = \frac{x^{2}}{x}$

ステップ 1.2

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- 3 y}{x} = \frac{x^{2}}{x}$

ステップ 1.2.2

$\frac{d y}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 3 y}{x} = \frac{x^{2}}{x}$

ステップ 1.3

$x^{2}$ と $x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 3 y}{x} = \frac{x \cdot x}{x}$

ステップ 1.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 3 y}{x} = \frac{x \cdot x}{x^{1}}$

ステップ 1.3.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 3 y}{x} = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1}$

ステップ 1.3.2.3

共通因数を約分します。

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 3 y}{x} = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1}$

ステップ 1.3.2.4

式を書き換えます。

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 3 y}{x} = \frac{x}{1}$

ステップ 1.3.2.5

$x$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 3 y}{x} = x$

ステップ 1.4

$y$ を $\frac{- 3 y}{x}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 3}{x} = x$

ステップ 1.5

$y$ と $\frac{- 3}{x}$ を並べ替えます。

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 3}{x} y = x$

ステップ 2

$P (x) = \frac{- 3}{x}$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

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ステップ 2.1

積分を設定します。

$e^{\int \frac{- 3}{x} d x}$

ステップ 2.2

$\frac{- 3}{x}$ を積分します。

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ステップ 2.2.1

分数を複数の分数に分割します。

$e^{\int - \frac{3}{x} d x}$

ステップ 2.2.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$e^{- \int \frac{3}{x} d x}$

ステップ 2.2.3

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$e^{- (3 \int \frac{1}{x} d x)}$

ステップ 2.2.4

$3$ に $- 1$ をかけます。

$e^{- 3 \int \frac{1}{x} d x}$

ステップ 2.2.5

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$e^{- 3 (\ln (| x |) + C)}$

ステップ 2.2.6

簡約します。

$e^{- 3 \ln (| x |) + C}$

ステップ 2.3

積分定数を削除します。

$e^{- 3 \ln (x)}$

ステップ 2.4

対数のべき乗則を利用します。

$e^{\ln (x^{- 3})}$

ステップ 2.5

指数関数と対数関数は逆関数です。

$x^{- 3}$

ステップ 2.6

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{1}{x^{3}}$

ステップ 3

各項に積分因数 $\frac{1}{x^{3}}$ を掛けます。

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ステップ 3.1

各項に $\frac{1}{x^{3}}$ を掛けます。

$\frac{1}{x^{3}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{3}} (\frac{- 3}{x} y) = \frac{1}{x^{3}} x$

ステップ 3.2

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$\frac{1}{x^{3}}$ と $\frac{d y}{d x}$ をまとめます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}} (\frac{- 3}{x} y) = \frac{1}{x^{3}} x$

ステップ 3.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}} (- \frac{3}{x} y) = \frac{1}{x^{3}} x$

ステップ 3.2.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}} (\frac{3}{x} y) = \frac{1}{x^{3}} x$

ステップ 3.2.4

$\frac{3}{x}$ と $y$ をまとめます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{3 y}{x} = \frac{1}{x^{3}} x$

ステップ 3.2.5

$- \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{3 y}{x}$ を掛けます。

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ステップ 3.2.5.1

$\frac{3 y}{x}$ に $\frac{1}{x^{3}}$ をかけます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x \cdot x^{3}} = \frac{1}{x^{3}} x$

ステップ 3.2.5.2

指数を足して $x$ に $x^{3}$ を掛けます。

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ステップ 3.2.5.2.1

$x$ に $x^{3}$ をかけます。

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ステップ 3.2.5.2.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{1} x^{3}} = \frac{1}{x^{3}} x$

ステップ 3.2.5.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{1 + 3}} = \frac{1}{x^{3}} x$

ステップ 3.2.5.2.2

$1$ と $3$ をたし算します。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = \frac{1}{x^{3}} x$

ステップ 3.3

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.1

$x$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = \frac{1}{x \cdot x^{2}} x$

ステップ 3.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = \frac{1}{x \cdot x^{2}} x$

ステップ 3.3.3

式を書き換えます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 4

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}} y] = \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 5

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}} y] d x = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 6

左辺を積分します。

$\frac{1}{x^{3}} y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 7

右辺を積分します。

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ステップ 7.1

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 7.1.1

$x^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\frac{1}{x^{3}} y = \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

ステップ 7.1.2

${(x^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 7.1.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{x^{3}} y = \int x^{2 \cdot - 1} d x$

ステップ 7.1.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{x^{3}} y = \int x^{- 2} d x$

ステップ 7.2

べき乗則では、 $x^{- 2}$ の $x$ に関する積分は $- x^{- 1}$ です。

$\frac{1}{x^{3}} y = - x^{- 1} + C$

ステップ 7.3

$- x^{- 1} + C$ を $- \frac{1}{x} + C$ に書き換えます。

$\frac{1}{x^{3}} y = - \frac{1}{x} + C$

ステップ 8

$y$ について解きます。

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ステップ 8.1

変数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 8.1.1

方程式の両辺に $\frac{1}{x}$ を足します。

$\frac{1}{x^{3}} y + \frac{1}{x} = C$

ステップ 8.1.2

方程式の両辺から $C$ を引きます。

$\frac{1}{x^{3}} y + \frac{1}{x} - C = 0$

ステップ 8.1.3

$\frac{1}{x^{3}}$ と $y$ をまとめます。

$\frac{y}{x^{3}} + \frac{1}{x} - C = 0$

ステップ 8.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 8.2.1

方程式の両辺から $\frac{1}{x}$ を引きます。

$\frac{y}{x^{3}} - C = - \frac{1}{x}$

ステップ 8.2.2

方程式の両辺に $C$ を足します。

$\frac{y}{x^{3}} = - \frac{1}{x} + C$

ステップ 8.3

両辺に $x^{3}$ を掛けます。

$\frac{y}{x^{3}} x^{3} = (- \frac{1}{x} + C) x^{3}$

ステップ 8.4

簡約します。

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ステップ 8.4.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.1.1

$x^{3}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y}{x^{3}} x^{3} = (- \frac{1}{x} + C) x^{3}$

ステップ 8.4.1.1.2

式を書き換えます。

$y = (- \frac{1}{x} + C) x^{3}$

ステップ 8.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 8.4.2.1

$(- \frac{1}{x} + C) x^{3}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.2.1.1

分配則を当てはめます。

$y = - \frac{1}{x} x^{3} + C x^{3}$

ステップ 8.4.2.1.2

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.4.2.1.2.1

$- \frac{1}{x}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$y = \frac{- 1}{x} x^{3} + C x^{3}$

ステップ 8.4.2.1.2.2

$x$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$y = \frac{- 1}{x} (x \cdot x^{2}) + C x^{3}$

ステップ 8.4.2.1.2.3

共通因数を約分します。

$y = \frac{- 1}{x} (x \cdot x^{2}) + C x^{3}$

ステップ 8.4.2.1.2.4

式を書き換えます。

$y = - 1 x^{2} + C x^{3}$

ステップ 8.4.2.1.3

式を簡約します。

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ステップ 8.4.2.1.3.1

$- 1 x^{2}$ を $- x^{2}$ に書き換えます。

$y = - x^{2} + C x^{3}$

ステップ 8.4.2.1.3.2

$- x^{2}$ と $C x^{3}$ を並べ替えます。

$y = C x^{3} - x^{2}$

微分積分 例

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