微分積分例

$\frac{d y}{d t} = 2 - \frac{3 y}{25 + 2 t}$

ステップ 1

微分方程式を $\frac{d y}{d t} + M (t) y = Q (t)$ として書き換えます。

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ステップ 1.1

方程式を $M (t) \frac{d y}{d t} + P (t) y = Q (t)$ として書き換えます。

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ステップ 1.1.1

方程式の両辺に $\frac{3 y}{25 + 2 t}$ を足します。

$\frac{d y}{d t} + \frac{3 y}{25 + 2 t} = 2$

ステップ 1.1.2

項を並べ替えます。

$\frac{d y}{d t} + \frac{3 y}{2 t + 25} = 2$

ステップ 1.2

$y$ を $\frac{3 y}{2 t + 25}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d t} + y \frac{3}{2 t + 25} = 2$

ステップ 1.3

$y$ と $\frac{3}{2 t + 25}$ を並べ替えます。

$\frac{d y}{d t} + \frac{3}{2 t + 25} y = 2$

ステップ 2

$P (t) = \frac{3}{2 t + 25}$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (t) d t}$ で定義されます。

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ステップ 2.1

積分を設定します。

$e^{\int \frac{3}{2 t + 25} d t}$

ステップ 2.2

$\frac{3}{2 t + 25}$ を積分します。

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ステップ 2.2.1

$3$ は $t$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$e^{3 \int \frac{1}{2 t + 25} d t}$

ステップ 2.2.2

$u = 2 t + 25$ とします。次に $d u = 2 d t$ すると、 $\frac{1}{2} d u = d t$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.2.2.1

$u = 2 t + 25$ とします。 $\frac{d u}{d t}$ を求めます。

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ステップ 2.2.2.1.1

$2 t + 25$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [2 t + 25]$

ステップ 2.2.2.1.2

総和則では、 $2 t + 25$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [25]$ です。

$\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [25]$

ステップ 2.2.2.1.3

$\frac{d}{d t} [2 t]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.2.1.3.1

$2$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $2 t$ の微分係数は $2 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [25]$

ステップ 2.2.2.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [25]$

ステップ 2.2.2.1.3.3

$2$ に $1$ をかけます。

$2 + \frac{d}{d t} [25]$

ステップ 2.2.2.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 2.2.2.1.4.1

$25$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $25$ の微分係数は $0$ です。

$2 + 0$

ステップ 2.2.2.1.4.2

$2$ と $0$ をたし算します。

$2$

ステップ 2.2.2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$e^{3 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u}$

ステップ 2.2.3

簡約します。

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ステップ 2.2.3.1

$\frac{1}{u}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$e^{3 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u}$

ステップ 2.2.3.2

$2$ を $u$ の左に移動させます。

$e^{3 \int \frac{1}{2 u} d u}$

ステップ 2.2.4

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$e^{3 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)}$

ステップ 2.2.5

$\frac{1}{2}$ と $3$ をまとめます。

$e^{\frac{3}{2} \int \frac{1}{u} d u}$

ステップ 2.2.6

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$e^{\frac{3}{2} (\ln (| u |) + C)}$

ステップ 2.2.7

簡約します。

$e^{\frac{3}{2} \ln (| u |) + C}$

ステップ 2.2.8

$u$ のすべての発生を $2 t + 25$ で置き換えます。

$e^{\frac{3}{2} \ln (| 2 t + 25 |) + C}$

ステップ 2.3

積分定数を削除します。

$e^{\frac{3}{2} \ln (2 t + 25)}$

ステップ 2.4

対数のべき乗則を利用します。

$e^{\ln ({(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}})}$

ステップ 2.5

指数関数と対数関数は逆関数です。

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$

ステップ 3

各項に積分因数 ${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 3.1

各項に ${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$ を掛けます。

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} (\frac{3}{2 t + 25} y) = {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2$

ステップ 3.2

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$\frac{3}{2 t + 25}$ と $y$ をまとめます。

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{3 y}{2 t + 25} = {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2$

ステップ 3.2.2

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$ と $\frac{3 y}{2 t + 25}$ をまとめます。

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + \frac{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} (3 y)}{2 t + 25} = {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2$

ステップ 3.2.3

$2 t + 25$ を ${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} (3 y)$ で因数分解します。

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + \frac{(2 t + 25) ({(2 t + 25)}^{\frac{1}{2}} (3 y))}{2 t + 25} = {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2$

ステップ 3.2.4

共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.4.1

$1$ を掛けます。

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + \frac{(2 t + 25) ({(2 t + 25)}^{\frac{1}{2}} (3 y))}{(2 t + 25) \cdot 1} = {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2$

ステップ 3.2.4.2

共通因数を約分します。

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + \frac{(2 t + 25) ({(2 t + 25)}^{\frac{1}{2}} (3 y))}{(2 t + 25) \cdot 1} = {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2$

ステップ 3.2.4.3

式を書き換えます。

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + \frac{{(2 t + 25)}^{\frac{1}{2}} (3 y)}{1} = {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2$

ステップ 3.2.4.4

${(2 t + 25)}^{\frac{1}{2}} (3 y)$ を $1$ で割ります。

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + {(2 t + 25)}^{\frac{1}{2}} (3 y) = {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2$

ステップ 3.2.5

積の可換性を利用して書き換えます。

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + 3 {(2 t + 25)}^{\frac{1}{2}} y = {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2$

ステップ 3.3

$2$ を ${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$ の左に移動させます。

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + 3 {(2 t + 25)}^{\frac{1}{2}} y = 2 \cdot {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$

ステップ 3.4

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + 3 {(2 t + 25)}^{\frac{1}{2}} y = 2 {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$ の因数を並べ替えます。

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + 3 y {(2 t + 25)}^{\frac{1}{2}} = 2 {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$

ステップ 4

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d t} [{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y] = 2 {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$

ステップ 5

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d t} [{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y] d t = \int 2 {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} d t$

ステップ 6

左辺を積分します。

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = \int 2 {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} d t$

ステップ 7

右辺を積分します。

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ステップ 7.1

$2$ は $t$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = 2 \int {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} d t$

ステップ 7.2

$u = 2 t + 25$ とします。次に $d u = 2 d t$ すると、 $\frac{1}{2} d u = d t$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 7.2.1

$u = 2 t + 25$ とします。 $\frac{d u}{d t}$ を求めます。

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ステップ 7.2.1.1

$2 t + 25$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [2 t + 25]$

ステップ 7.2.1.2

総和則では、 $2 t + 25$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [25]$ です。

$\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [25]$

ステップ 7.2.1.3

$\frac{d}{d t} [2 t]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.3.1

$2$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $2 t$ の微分係数は $2 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [25]$

ステップ 7.2.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [25]$

ステップ 7.2.1.3.3

$2$ に $1$ をかけます。

$2 + \frac{d}{d t} [25]$

ステップ 7.2.1.4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.4.1

$25$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $25$ の微分係数は $0$ です。

$2 + 0$

ステップ 7.2.1.4.2

$2$ と $0$ をたし算します。

$2$

ステップ 7.2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = 2 \int u^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} d u$

ステップ 7.3

$u^{\frac{3}{2}}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = 2 \int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u$

ステップ 7.4

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = 2 (\frac{1}{2} \int u^{\frac{3}{2}} d u)$

ステップ 7.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.1

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = \frac{2}{2} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

ステップ 7.5.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.5.2.1

共通因数を約分します。

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = \frac{2}{2} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

ステップ 7.5.2.2

式を書き換えます。

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = 1 \int u^{\frac{3}{2}} d u$

ステップ 7.5.3

$\int u^{\frac{3}{2}} d u$ に $1$ をかけます。

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = \int u^{\frac{3}{2}} d u$

ステップ 7.6

べき乗則では、 $u^{\frac{3}{2}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ です。

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

ステップ 7.7

$u$ のすべての発生を $2 t + 25$ で置き換えます。

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = \frac{2}{5} {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}} + C$

ステップ 8

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = \frac{2}{5} {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}} + C$ の各項を ${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$ で割り、簡約します。

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ステップ 8.1

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = \frac{2}{5} {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}} + C$ の各項を ${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$ で割ります。

$\frac{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}} = \frac{\frac{2}{5} {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}}}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{C}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 8.2

左辺を簡約します。

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ステップ 8.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}} = \frac{\frac{2}{5} {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}}}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{C}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 8.2.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\frac{2}{5} {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}}}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{C}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 8.3

右辺を簡約します。

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ステップ 8.3.1

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{\frac{2}{5} {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}} + C}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 8.3.2

$\frac{2}{5}$ と ${(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}}$ をまとめます。

$y = \frac{\frac{2 {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}}}{5} + C}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 8.3.3

$C$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$y = \frac{\frac{2 {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}}}{5} + C \cdot \frac{5}{5}}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 8.3.4

項を簡約します。

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ステップ 8.3.4.1

$C$ と $\frac{5}{5}$ をまとめます。

$y = \frac{\frac{2 {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{C \cdot 5}{5}}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 8.3.4.2

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{\frac{2 {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}} + C \cdot 5}{5}}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 8.3.5

$5$ を $C$ の左に移動させます。

$y = \frac{\frac{2 {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}} + 5 C}{5}}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 8.3.6

分子に分母の逆数を掛けます。

$y = \frac{2 {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}} + 5 C}{5} \cdot \frac{1}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 8.3.7

$\frac{2 {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}} + 5 C}{5}$ に $\frac{1}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$ をかけます。

$y = \frac{2 {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}} + 5 C}{5 {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

微分積分 例

微分積分例