微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{3}{x^{4}}$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$d y = \frac{3}{x^{4}} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int \frac{3}{x^{4}} d x$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int \frac{3}{x^{4}} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = 3 \int \frac{1}{x^{4}} d x$

ステップ 2.3.2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 2.3.2.1

$x^{4}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$y + C_{1} = 3 \int {(x^{4})}^{- 1} d x$

ステップ 2.3.2.2

${(x^{4})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.3.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y + C_{1} = 3 \int x^{4 \cdot - 1} d x$

ステップ 2.3.2.2.2

$4$ に $- 1$ をかけます。

$y + C_{1} = 3 \int x^{- 4} d x$

$y + C_{1} = 3 \int x^{- 4} d x$

$y + C_{1} = 3 \int x^{- 4} d x$

ステップ 2.3.3

べき乗則では、 $x^{- 4}$ の $x$ に関する積分は $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ です。

$y + C_{1} = 3 (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C_{2})$

ステップ 2.3.4

答えを簡約します。

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ステップ 2.3.4.1

簡約します。

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ステップ 2.3.4.1.1

$x^{- 3}$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$y + C_{1} = 3 (- \frac{x^{- 3}}{3} + C_{2})$

ステップ 2.3.4.1.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- 3}$ を分母に移動させます。

$y + C_{1} = 3 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C_{2})$

$y + C_{1} = 3 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C_{2})$

ステップ 2.3.4.2

簡約します。

$y + C_{1} = 3 (- \frac{1}{3 x^{3}}) + C_{2}$

ステップ 2.3.4.3

簡約します。

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ステップ 2.3.4.3.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$y + C_{1} = - 3 \frac{1}{3 x^{3}} + C_{2}$

ステップ 2.3.4.3.2

$- 3$ と $\frac{1}{3 x^{3}}$ をまとめます。

$y + C_{1} = \frac{- 3}{3 x^{3}} + C_{2}$

ステップ 2.3.4.3.3

$- 3$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.4.3.3.1

$3$ を $- 3$ で因数分解します。

$y + C_{1} = \frac{3 \cdot - 1}{3 x^{3}} + C_{2}$

ステップ 2.3.4.3.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.4.3.3.2.1

$3$ を $3 x^{3}$ で因数分解します。

$y + C_{1} = \frac{3 \cdot - 1}{3 (x^{3})} + C_{2}$

ステップ 2.3.4.3.3.2.2

共通因数を約分します。

$y + C_{1} = \frac{3 \cdot - 1}{3 x^{3}} + C_{2}$

ステップ 2.3.4.3.3.2.3

式を書き換えます。

$y + C_{1} = \frac{- 1}{x^{3}} + C_{2}$

$y + C_{1} = \frac{- 1}{x^{3}} + C_{2}$

$y + C_{1} = \frac{- 1}{x^{3}} + C_{2}$

ステップ 2.3.4.3.4

分数の前に負数を移動させます。

$y + C_{1} = - \frac{1}{x^{3}} + C_{2}$

$y + C_{1} = - \frac{1}{x^{3}} + C_{2}$

$y + C_{1} = - \frac{1}{x^{3}} + C_{2}$

$y + C_{1} = - \frac{1}{x^{3}} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$y = - \frac{1}{x^{3}} + K$

$y = - \frac{1}{x^{3}} + K$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$