微分積分例

$(x + 2) d x - x d y = 0$

ステップ 1

方程式の両辺から $(x + 2) d x$ を引きます。

$- x d y = - (x + 2) d x$

ステップ 2

両辺に $\frac{1}{x}$ を掛けます。

$\frac{1}{x} (- x) d y = \frac{1}{x} (- (x + 2)) d x$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$- \frac{1}{x} x d y = \frac{1}{x} (- (x + 2)) d x$

ステップ 3.2

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1

$- \frac{1}{x}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- 1}{x} x d y = \frac{1}{x} (- (x + 2)) d x$

ステップ 3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{- 1}{x} x d y = \frac{1}{x} (- (x + 2)) d x$

ステップ 3.2.3

式を書き換えます。

$- 1 d y = \frac{1}{x} (- (x + 2)) d x$

ステップ 3.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$- 1 d y = - \frac{1}{x} (x + 2) d x$

ステップ 3.4

分配則を当てはめます。

$- 1 d y = (- \frac{1}{x} x - \frac{1}{x} \cdot 2) d x$

ステップ 3.5

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.1

$- \frac{1}{x}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$- 1 d y = (\frac{- 1}{x} x - \frac{1}{x} \cdot 2) d x$

ステップ 3.5.2

共通因数を約分します。

$- 1 d y = (\frac{- 1}{x} x - \frac{1}{x} \cdot 2) d x$

ステップ 3.5.3

式を書き換えます。

$- 1 d y = (- 1 - \frac{1}{x} \cdot 2) d x$

ステップ 3.6

$- \frac{1}{x} \cdot 2$ を掛けます。

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ステップ 3.6.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 1 d y = (- 1 - 2 \frac{1}{x}) d x$

ステップ 3.6.2

$- 2$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$- 1 d y = (- 1 + \frac{- 2}{x}) d x$

ステップ 3.7

分数の前に負数を移動させます。

$- 1 d y = (- 1 - \frac{2}{x}) d x$

ステップ 4

両辺を積分します。

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ステップ 4.1

各辺の積分を設定します。

$\int - 1 d y = \int - 1 - \frac{2}{x} d x$

ステップ 4.2

定数の法則を当てはめます。

$- y + C_{1} = \int - 1 - \frac{2}{x} d x$

ステップ 4.3

右辺を積分します。

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ステップ 4.3.1

単一積分を複数積分に分割します。

$- y + C_{1} = \int - 1 d x + \int - \frac{2}{x} d x$

ステップ 4.3.2

定数の法則を当てはめます。

$- y + C_{1} = - x + C_{2} + \int - \frac{2}{x} d x$

ステップ 4.3.3

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- y + C_{1} = - x + C_{2} - \int \frac{2}{x} d x$

ステップ 4.3.4

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$- y + C_{1} = - x + C_{2} - (2 \int \frac{1}{x} d x)$

ステップ 4.3.5

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- y + C_{1} = - x + C_{2} - 2 \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.3.6

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$- y + C_{1} = - x + C_{2} - 2 (\ln (| x |) + C_{3})$

ステップ 4.3.7

簡約します。

$- y + C_{1} = - x - 2 \ln (| x |) + C_{4}$

ステップ 4.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$- y = - x - 2 \ln (| x |) + C$

ステップ 5

$- y = - x - 2 \ln (| x |) + C$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.1

$- y = - x - 2 \ln (| x |) + C$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- y}{- 1} = \frac{- x}{- 1} + \frac{- 2 \ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

ステップ 5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{y}{1} = \frac{- x}{- 1} + \frac{- 2 \ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

ステップ 5.2.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{- x}{- 1} + \frac{- 2 \ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

ステップ 5.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.3.1.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$y = \frac{x}{1} + \frac{- 2 \ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

ステップ 5.3.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$y = x + \frac{- 2 \ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

ステップ 5.3.1.3

$\frac{- 2 \ln (| x |)}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$y = x - 1 \cdot (- 2 \ln (| x |)) + \frac{C}{- 1}$

ステップ 5.3.1.4

$- 1 \cdot (- 2 \ln (| x |))$ を $- (- 2 \ln (| x |))$ に書き換えます。

$y = x - (- 2 \ln (| x |)) + \frac{C}{- 1}$

ステップ 5.3.1.5

$- (- 2 \ln (| x |))$ を掛けます。

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ステップ 5.3.1.5.1

対数の中の $2$ を移動させて $- 2 \ln (| x |)$ を簡約します。

$y = x - - \ln ({| x |}^{2}) + \frac{C}{- 1}$

ステップ 5.3.1.5.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$y = x + 1 \ln ({| x |}^{2}) + \frac{C}{- 1}$

ステップ 5.3.1.5.3

$\ln ({| x |}^{2})$ に $1$ をかけます。

$y = x + \ln ({| x |}^{2}) + \frac{C}{- 1}$

ステップ 5.3.1.6

偶数乗をもつ累乗法は常に正なので、 ${| x |}^{2}$ の絶対値を削除します。

$y = x + \ln (x^{2}) + \frac{C}{- 1}$

ステップ 5.3.1.7

$\frac{C}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$y = x + \ln (x^{2}) - 1 \cdot C$

ステップ 5.3.1.8

$- 1 \cdot C$ を $- C$ に書き換えます。

$y = x + \ln (x^{2}) - C$

ステップ 6

積分定数を簡約します。

$y = x + \ln (x^{2}) + C$

微分積分 例

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