微分積分例

$\frac{d u}{d t} = \frac{(u + 1) (t + 1)}{(u + 2) (t - 1)}$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

因数をもう一度まとめます。

$\frac{d u}{d t} = \frac{u + 1}{u + 2} \cdot \frac{t + 1}{t - 1}$

ステップ 1.2

両辺に $\frac{u + 2}{u + 1}$ を掛けます。

$\frac{u + 2}{u + 1} \frac{d u}{d t} = \frac{u + 2}{u + 1} (\frac{u + 1}{u + 2} \cdot \frac{t + 1}{t - 1})$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

$\frac{u + 1}{u + 2}$ に $\frac{t + 1}{t - 1}$ をかけます。

$\frac{u + 2}{u + 1} \frac{d u}{d t} = \frac{u + 2}{u + 1} \cdot \frac{(u + 1) (t + 1)}{(u + 2) (t - 1)}$

ステップ 1.3.2

$u + 2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{u + 2}{u + 1} \frac{d u}{d t} = \frac{u + 2}{u + 1} \cdot \frac{(u + 1) (t + 1)}{(u + 2) (t - 1)}$

ステップ 1.3.2.2

式を書き換えます。

$\frac{u + 2}{u + 1} \frac{d u}{d t} = \frac{1}{u + 1} \cdot \frac{(u + 1) (t + 1)}{t - 1}$

ステップ 1.3.3

$u + 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{u + 2}{u + 1} \frac{d u}{d t} = \frac{1}{u + 1} \cdot \frac{(u + 1) (t + 1)}{t - 1}$

ステップ 1.3.3.2

式を書き換えます。

$\frac{u + 2}{u + 1} \frac{d u}{d t} = \frac{t + 1}{t - 1}$

ステップ 1.4

方程式を書き換えます。

$\frac{u + 2}{u + 1} d u = \frac{t + 1}{t - 1} d t$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{u + 2}{u + 1} d u = \int \frac{t + 1}{t - 1} d t$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

$u + 2$ を $u + 1$ で割ります。

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ステップ 2.2.1.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$u$

$1$

$u$

$2$

ステップ 2.2.1.2

被除数 $u$ の最高次項を除数 $u$ の最高次項で割ります。

					$1$
	$u$	+	$1$		$u$	+	$2$

ステップ 2.2.1.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$1$
$u$	+	$1$		$u$	+	$2$
			+	$u$	+	$1$

ステップ 2.2.1.4

式は被除数から引く必要があるので、 $u + 1$ の符号をすべて変更します。

				$1$
$u$	+	$1$		$u$	+	$2$
			-	$u$	-	$1$

ステップ 2.2.1.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$1$
$u$	+	$1$		$u$	+	$2$
			-	$u$	-	$1$
					+	$1$

ステップ 2.2.1.6

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$\int 1 + \frac{1}{u + 1} d u = \int \frac{t + 1}{t - 1} d t$

ステップ 2.2.2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int d u + \int \frac{1}{u + 1} d u = \int \frac{t + 1}{t - 1} d t$

ステップ 2.2.3

定数の法則を当てはめます。

$u + C_{1} + \int \frac{1}{u + 1} d u = \int \frac{t + 1}{t - 1} d t$

ステップ 2.2.4

$u_{1} = u + 1$ とします。次に $d u_{1} = d u$ 。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.2.4.1

$u_{1} = u + 1$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d u}$ を求めます。

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ステップ 2.2.4.1.1

$u + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d u} [u + 1]$

ステップ 2.2.4.1.2

総和則では、 $u + 1$ の $u$ に関する積分は $\frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [1]$ です。

$\frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [1]$

ステップ 2.2.4.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d u} [1]$

ステップ 2.2.4.1.4

$1$ は $u$ について定数なので、 $u$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 2.2.4.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 2.2.4.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$u + C_{1} + \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{t + 1}{t - 1} d t$

ステップ 2.2.5

$\frac{1}{u_{1}}$ の $u_{1}$ に関する積分は $\ln (| u_{1} |)$ です。

$u + C_{1} + \ln (| u_{1} |) + C_{2} = \int \frac{t + 1}{t - 1} d t$

ステップ 2.2.6

簡約します。

$u + \ln (| u_{1} |) + C_{3} = \int \frac{t + 1}{t - 1} d t$

ステップ 2.2.7

$u_{1}$ のすべての発生を $u + 1$ で置き換えます。

$u + \ln (| u + 1 |) + C_{3} = \int \frac{t + 1}{t - 1} d t$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$t + 1$ を $t - 1$ で割ります。

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ステップ 2.3.1.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$t$

$1$

$t$

$1$

ステップ 2.3.1.2

被除数 $t$ の最高次項を除数 $t$ の最高次項で割ります。

					$1$
	$t$	-	$1$		$t$	+	$1$

ステップ 2.3.1.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$1$
$t$	-	$1$		$t$	+	$1$
			+	$t$	-	$1$

ステップ 2.3.1.4

式は被除数から引く必要があるので、 $t - 1$ の符号をすべて変更します。

				$1$
$t$	-	$1$		$t$	+	$1$
			-	$t$	+	$1$

ステップ 2.3.1.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$1$
$t$	-	$1$		$t$	+	$1$
			-	$t$	+	$1$
					+	$2$

ステップ 2.3.1.6

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$u + \ln (| u + 1 |) + C_{3} = \int 1 + \frac{2}{t - 1} d t$

ステップ 2.3.2

単一積分を複数積分に分割します。

$u + \ln (| u + 1 |) + C_{3} = \int d t + \int \frac{2}{t - 1} d t$

ステップ 2.3.3

定数の法則を当てはめます。

$u + \ln (| u + 1 |) + C_{3} = t + C_{4} + \int \frac{2}{t - 1} d t$

ステップ 2.3.4

$2$ は $t$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$u + \ln (| u + 1 |) + C_{3} = t + C_{4} + 2 \int \frac{1}{t - 1} d t$

ステップ 2.3.5

$u_{2} = t - 1$ とします。次に $d u_{2} = d t$ 。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.1

$u_{2} = t - 1$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d t}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.1.1

$t - 1$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [t - 1]$

ステップ 2.3.5.1.2

総和則では、 $t - 1$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]$ です。

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]$

ステップ 2.3.5.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d t} [- 1]$

ステップ 2.3.5.1.4

$- 1$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 2.3.5.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 2.3.5.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$u + \ln (| u + 1 |) + C_{3} = t + C_{4} + 2 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 2.3.6

$\frac{1}{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\ln (| u_{2} |)$ です。

$u + \ln (| u + 1 |) + C_{3} = t + C_{4} + 2 (\ln (| u_{2} |) + C_{5})$

ステップ 2.3.7

簡約します。

$u + \ln (| u + 1 |) + C_{3} = t + 2 \ln (| u_{2} |) + C_{6}$

ステップ 2.3.8

$u_{2}$ のすべての発生を $t - 1$ で置き換えます。

$u + \ln (| u + 1 |) + C_{3} = t + 2 \ln (| t - 1 |) + C_{6}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$u + \ln (| u + 1 |) = t + 2 \ln (| t - 1 |) + C$

微分積分 例

微分積分例