微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x^{2} y}{e^{2 - x^{3}}}$ , $y (0) = 1$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

因数をもう一度まとめます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x^{2}}{e^{2 - x^{3}}} y$

ステップ 1.2

両辺に $\frac{1}{y}$ を掛けます。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (\frac{6 x^{2}}{e^{2 - x^{3}}} y)$

ステップ 1.3

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$y$ を $\frac{6 x^{2}}{e^{2 - x^{3}}} y$ で因数分解します。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{6 x^{2}}{e^{2 - x^{3}}})$

ステップ 1.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{6 x^{2}}{e^{2 - x^{3}}})$

ステップ 1.3.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{6 x^{2}}{e^{2 - x^{3}}}$

ステップ 1.4

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{y} d y = \frac{6 x^{2}}{e^{2 - x^{3}}} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{6 x^{2}}{e^{2 - x^{3}}} d x$

ステップ 2.2

$\frac{1}{y}$ の $y$ に関する積分は $\ln (| y |)$ です。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{6 x^{2}}{e^{2 - x^{3}}} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $6$ を積分の外に移動させます。

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int \frac{x^{2}}{e^{2 - x^{3}}} d x$

ステップ 2.3.2

式を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

$e^{2 - x^{3}}$ の指数を否定し、分母の外に移動させます。

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int x^{2} {(e^{2 - x^{3}})}^{- 1} d x$

ステップ 2.3.2.2

${(e^{2 - x^{3}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.3.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int x^{2} e^{(2 - x^{3}) \cdot - 1} d x$

ステップ 2.3.2.2.2

分配則を当てはめます。

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int x^{2} e^{2 \cdot - 1 - x^{3} \cdot - 1} d x$

ステップ 2.3.2.2.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int x^{2} e^{- 2 - x^{3} \cdot - 1} d x$

ステップ 2.3.2.2.4

$- x^{3} \cdot - 1$ を掛けます。

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ステップ 2.3.2.2.4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int x^{2} e^{- 2 + 1 x^{3}} d x$

ステップ 2.3.2.2.4.2

$x^{3}$ に $1$ をかけます。

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int x^{2} e^{- 2 + x^{3}} d x$

ステップ 2.3.3

$u = - 2 + x^{3}$ とします。次に $d u = 3 x^{2} d x$ すると、 $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.3.3.1

$u = - 2 + x^{3}$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.3.3.1.1

$- 2 + x^{3}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [- 2 + x^{3}]$

ステップ 2.3.3.1.2

総和則では、 $- 2 + x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 2.3.3.1.3

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 2.3.3.1.4

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 3 x^{2}$

ステップ 2.3.3.1.5

$0$ と $3 x^{2}$ をたし算します。

$3 x^{2}$

ステップ 2.3.3.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int e^{u} \frac{1}{3} d u$

ステップ 2.3.4

$e^{u}$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int \frac{e^{u}}{3} d u$

ステップ 2.3.5

$\frac{1}{3}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 (\frac{1}{3} \int e^{u} d u)$

ステップ 2.3.6

簡約します。

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ステップ 2.3.6.1

$\frac{1}{3}$ と $6$ をまとめます。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{6}{3} \int e^{u} d u$

ステップ 2.3.6.2

$6$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.6.2.1

$3$ を $6$ で因数分解します。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{3 \cdot 2}{3} \int e^{u} d u$

ステップ 2.3.6.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.6.2.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{3 \cdot 2}{3 (1)} \int e^{u} d u$

ステップ 2.3.6.2.2.2

共通因数を約分します。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} \int e^{u} d u$

ステップ 2.3.6.2.2.3

式を書き換えます。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2}{1} \int e^{u} d u$

ステップ 2.3.6.2.2.4

$2$ を $1$ で割ります。

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int e^{u} d u$

ステップ 2.3.7

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (e^{u} + C_{2})$

ステップ 2.3.8

簡約します。

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 e^{u} + C_{2}$

ステップ 2.3.9

$u$ のすべての発生を $- 2 + x^{3}$ で置き換えます。

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 e^{- 2 + x^{3}} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\ln (| y |) = 2 e^{- 2 + x^{3}} + C$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

$y$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (| y |)} = e^{2 e^{- 2 + x^{3}} + C}$

ステップ 3.2

対数の定義を利用して $\ln (| y |) = 2 e^{- 2 + x^{3}} + C$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{2 e^{- 2 + x^{3}} + C} = | y |$

ステップ 3.3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.3.1

方程式を $| y | = e^{2 e^{- 2 + x^{3}} + C}$ として書き換えます。

$| y | = e^{2 e^{- 2 + x^{3}} + C}$

ステップ 3.3.2

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$y = \pm e^{2 e^{- 2 + x^{3}} + C}$

ステップ 4

定数項をまとめます。

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ステップ 4.1

$e^{2 e^{- 2 + x^{3}} + C}$ を $e^{2 e^{- 2 + x^{3}}} e^{C}$ に書き換えます。

$y = \pm e^{2 e^{- 2 + x^{3}}} e^{C}$

ステップ 4.2

$e^{2 e^{- 2 + x^{3}}}$ と $e^{C}$ を並べ替えます。

$y = \pm e^{C} e^{2 e^{- 2 + x^{3}}}$

ステップ 4.3

定数を正または負でまとめます。

$y = C e^{2 e^{- 2 + x^{3}}}$

ステップ 5

初期条件を利用し、 $y = C e^{2 e^{- 2 + x^{3}}}$ の $0$ を $x$ に、 $1$ を $y$ に代入し $C$ の値を求めます。

$1 = C e^{2 e^{- 2 + 0^{3}}}$

ステップ 6

$C$ について解きます。

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ステップ 6.1

方程式を $C e^{2 e^{- 2 + 0^{3}}} = 1$ として書き換えます。

$C e^{2 e^{- 2 + 0^{3}}} = 1$

ステップ 6.2

簡約します。

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ステップ 6.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$C e^{2 e^{- 2 + 0}} = 1$

ステップ 6.2.2

$- 2$ と $0$ をたし算します。

$C e^{2 e^{- 2}} = 1$

ステップ 6.2.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$C e^{2 \frac{1}{e^{2}}} = 1$

ステップ 6.2.4

$2$ と $\frac{1}{e^{2}}$ をまとめます。

$C e^{\frac{2}{e^{2}}} = 1$

ステップ 6.3

$C e^{\frac{2}{e^{2}}} = 1$ の各項を $e^{\frac{2}{e^{2}}}$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.3.1

$C e^{\frac{2}{e^{2}}} = 1$ の各項を $e^{\frac{2}{e^{2}}}$ で割ります。

$\frac{C e^{\frac{2}{e^{2}}}}{e^{\frac{2}{e^{2}}}} = \frac{1}{e^{\frac{2}{e^{2}}}}$

ステップ 6.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.3.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{C e^{\frac{2}{e^{2}}}}{e^{\frac{2}{e^{2}}}} = \frac{1}{e^{\frac{2}{e^{2}}}}$

ステップ 6.3.2.2

$C$ を $1$ で割ります。

$C = \frac{1}{e^{\frac{2}{e^{2}}}}$

ステップ 7

$\frac{1}{e^{\frac{2}{e^{2}}}}$ を $y = C e^{2 e^{- 2 + x^{3}}}$ の中の $C$ に代入し簡約します。

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ステップ 7.1

$\frac{1}{e^{\frac{2}{e^{2}}}}$ を $C$ に代入します。

$y = \frac{1}{e^{\frac{2}{e^{2}}}} e^{2 e^{- 2 + x^{3}}}$

ステップ 7.2

$\frac{1}{e^{\frac{2}{e^{2}}}}$ と $e^{2 e^{- 2 + x^{3}}}$ をまとめます。

$y = \frac{e^{2 e^{- 2 + x^{3}}}}{e^{\frac{2}{e^{2}}}}$

ステップ 7.3

$e^{\frac{2}{e^{2}}}$ を $e^{2 e^{- 2 + x^{3}}}$ で因数分解します。

$y = \frac{e^{\frac{2}{e^{2}}} e^{\frac{2 e^{- 2 + x^{3}} e^{2} - 2}{e^{2}}}}{e^{\frac{2}{e^{2}}}}$

ステップ 7.4

共通因数を約分します。

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ステップ 7.4.1

$1$ を掛けます。

$y = \frac{e^{\frac{2}{e^{2}}} e^{\frac{2 e^{- 2 + x^{3}} e^{2} - 2}{e^{2}}}}{e^{\frac{2}{e^{2}}} \cdot 1}$

ステップ 7.4.2

共通因数を約分します。

$y = \frac{e^{\frac{2}{e^{2}}} e^{\frac{2 e^{- 2 + x^{3}} e^{2} - 2}{e^{2}}}}{e^{\frac{2}{e^{2}}} \cdot 1}$

ステップ 7.4.3

式を書き換えます。

$y = \frac{e^{\frac{2 e^{- 2 + x^{3}} e^{2} - 2}{e^{2}}}}{1}$

ステップ 7.4.4

$e^{\frac{2 e^{- 2 + x^{3}} e^{2} - 2}{e^{2}}}$ を $1$ で割ります。

$y = e^{\frac{2 e^{- 2 + x^{3}} e^{2} - 2}{e^{2}}}$

ステップ 7.5

分子を簡約します。

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ステップ 7.5.1

$2$ を $2 e^{- 2 + x^{3}} e^{2} - 2$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.1.1

$2$ を $2 e^{- 2 + x^{3}} e^{2}$ で因数分解します。

$y = e^{\frac{2 (e^{- 2 + x^{3}} e^{2}) - 2}{e^{2}}}$

ステップ 7.5.1.2

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$y = e^{\frac{2 (e^{- 2 + x^{3}} e^{2}) + 2 (- 1)}{e^{2}}}$

ステップ 7.5.1.3

$2$ を $2 (e^{- 2 + x^{3}} e^{2}) + 2 (- 1)$ で因数分解します。

$y = e^{\frac{2 (e^{- 2 + x^{3}} e^{2} - 1)}{e^{2}}}$

ステップ 7.5.2

指数を足して $e^{- 2 + x^{3}}$ に $e^{2}$ を掛けます。

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ステップ 7.5.2.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y = e^{\frac{2 (e^{- 2 + x^{3} + 2} - 1)}{e^{2}}}$

ステップ 7.5.2.2

$- 2 + x^{3} + 2$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.2.2.1

$- 2$ と $2$ をたし算します。

$y = e^{\frac{2 (e^{x^{3} + 0} - 1)}{e^{2}}}$

ステップ 7.5.2.2.2

$x^{3}$ と $0$ をたし算します。

$y = e^{\frac{2 (e^{x^{3}} - 1)}{e^{2}}}$

微分積分 例

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