微分積分例

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{d y}{d x}$

ステップ 1

$v = \frac{d y}{d x}$ とします。すると $\frac{d v}{d x} = \frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ です。 $v$ を $\frac{d y}{d x}$ に、 $\frac{d v}{d x}$ を $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ に代入し、従属変数 $v$ と独立変数 $x$ について微分方程式を得ます。

$\frac{d v}{d x} = v$

ステップ 2

変数を分けます。

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ステップ 2.1

両辺に $\frac{1}{v}$ を掛けます。

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v} v$

ステップ 2.2

$v$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v} v$

ステップ 2.2.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d x} = 1$

ステップ 2.3

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{v} d v = 1 d x$

ステップ 3

両辺を積分します。

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ステップ 3.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{v} d v = \int d x$

ステップ 3.2

$\frac{1}{v}$ の $v$ に関する積分は $\ln (| v |)$ です。

$\ln (| v |) + C_{1} = \int d x$

ステップ 3.3

定数の法則を当てはめます。

$\ln (| v |) + C_{1} = x + C_{2}$

ステップ 3.4

右辺の積分定数を $C_{3}$ としてまとめます。

$\ln (| v |) = x + C_{3}$

ステップ 4

$v$ について解きます。

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ステップ 4.1

$v$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (| v |)} = e^{x + C_{3}}$

ステップ 4.2

対数の定義を利用して $\ln (| v |) = x + C_{3}$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{x + C_{3}} = | v |$

ステップ 4.3

$v$ について解きます。

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ステップ 4.3.1

方程式を $| v | = e^{x + C_{3}}$ として書き換えます。

$| v | = e^{x + C_{3}}$

ステップ 4.3.2

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$v = \pm e^{x + C_{3}}$

ステップ 5

定数項をまとめます。

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ステップ 5.1

$e^{x + C_{3}}$ を $e^{x} e^{C_{3}}$ に書き換えます。

$v = \pm e^{x} e^{C_{3}}$

ステップ 5.2

$e^{x}$ と $e^{C_{3}}$ を並べ替えます。

$v = \pm e^{C_{3}} e^{x}$

ステップ 5.3

定数を正または負でまとめます。

$v = C_{4} e^{x}$

ステップ 6

$v$ のすべての発生を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = C_{4} e^{x}$

ステップ 7

方程式を書き換えます。

$d y = C_{4} e^{x} d x$

ステップ 8

両辺を積分します。

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ステップ 8.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int C_{4} e^{x} d x$

ステップ 8.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{5} = \int C_{4} e^{x} d x$

ステップ 8.3

右辺を積分します。

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ステップ 8.3.1

$C_{4}$ は $x$ に対して定数なので、 $C_{4}$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{5} = C_{4} \int e^{x} d x$

ステップ 8.3.2

$e^{x}$ の $x$ に関する積分は $e^{x}$ です。

$y + C_{5} = C_{4} (e^{x} + C_{6})$

ステップ 8.3.3

簡約します。

$y + C_{5} = C_{4} e^{x} + C_{7}$

ステップ 8.3.4

項を並べ替えます。

$y + C_{5} = e^{x} C_{4} + C_{7}$

ステップ 8.4

右辺の積分定数を $D$ としてまとめます。

$y = e^{x} C + D$

微分積分 例

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