微分積分例

$\frac{d y}{d x} = x \sqrt{x - 3}$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$d y = x \sqrt{x - 3} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int x \sqrt{x - 3} d x$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int x \sqrt{x - 3} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$u = x$ と $d v = \sqrt{x - 3}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$y + C_{1} = x (\frac{2}{3} {(x - 3)}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{3} {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} d x$

ステップ 2.3.2

簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

$\frac{2}{3}$ と ${(x - 3)}^{\frac{3}{2}}$ をまとめます。

$y + C_{1} = x \frac{2 {(x - 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} d x$

ステップ 2.3.2.2

$x$ と $\frac{2 {(x - 3)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ をまとめます。

$y + C_{1} = \frac{x (2 {(x - 3)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \int \frac{2}{3} {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} d x$

ステップ 2.3.3

$\frac{2}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{2}{3}$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = \frac{x (2 {(x - 3)}^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{2}{3} \int {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} d x)$

ステップ 2.3.4

$u = x - 3$ とします。次に $d u = d x$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.3.4.1

$u = x - 3$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.3.4.1.1

$x - 3$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x - 3]$

ステップ 2.3.4.1.2

総和則では、 $x - 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 2.3.4.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

ステップ 2.3.4.1.4

$- 3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 2.3.4.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 2.3.4.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$y + C_{1} = \frac{x (2 {(x - 3)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

ステップ 2.3.5

べき乗則では、 $u^{\frac{3}{2}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ です。

$y + C_{1} = \frac{x (2 {(x - 3)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C_{2})$

ステップ 2.3.6

簡約します。

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ステップ 2.3.6.1

$\frac{x (2 {(x - 3)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C_{2})$ を $\frac{2}{3} x {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C_{2}$ に書き換えます。

$y + C_{1} = \frac{2}{3} x {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C_{2}$

ステップ 2.3.6.2

簡約します。

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ステップ 2.3.6.2.1

$\frac{2}{3}$ と $x$ をまとめます。

$y + C_{1} = \frac{2 x}{3} {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C_{2}$

ステップ 2.3.6.2.2

$\frac{2 x}{3}$ と ${(x - 3)}^{\frac{3}{2}}$ をまとめます。

$y + C_{1} = \frac{2 x {(x - 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C_{2}$

ステップ 2.3.6.2.3

$\frac{2}{5}$ に $\frac{2}{3}$ をかけます。

$y + C_{1} = \frac{2 x {(x - 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 3} u^{\frac{5}{2}} + C_{2}$

ステップ 2.3.6.2.4

$2$ に $2$ をかけます。

$y + C_{1} = \frac{2 x {(x - 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4}{5 \cdot 3} u^{\frac{5}{2}} + C_{2}$

ステップ 2.3.6.2.5

$5$ に $3$ をかけます。

$y + C_{1} = \frac{2 x {(x - 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4}{15} u^{\frac{5}{2}} + C_{2}$

ステップ 2.3.6.2.6

$- \frac{4}{15} u^{\frac{5}{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$y + C_{1} = \frac{2 x {(x - 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4}{15} u^{\frac{5}{2}} \cdot \frac{3}{3} + C_{2}$

ステップ 2.3.6.2.7

$- \frac{4}{15} u^{\frac{5}{2}}$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$y + C_{1} = \frac{2 x {(x - 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- \frac{4}{15} u^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{3} + C_{2}$

ステップ 2.3.6.2.8

公分母の分子をまとめます。

$y + C_{1} = \frac{2 x {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{15} u^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{3} + C_{2}$

ステップ 2.3.6.2.9

$u^{\frac{5}{2}}$ と $\frac{4}{15}$ をまとめます。

$y + C_{1} = \frac{2 x {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} - \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 4}{15} \cdot 3}{3} + C_{2}$

ステップ 2.3.6.2.10

$3$ に $- 1$ をかけます。

$y + C_{1} = \frac{2 x {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} - 3 \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 4}{15}}{3} + C_{2}$

ステップ 2.3.6.2.11

$- 3$ と $\frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 4}{15}$ をまとめます。

$y + C_{1} = \frac{2 x {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 3 (u^{\frac{5}{2}} \cdot 4)}{15}}{3} + C_{2}$

ステップ 2.3.6.2.12

$4$ に $- 3$ をかけます。

$y + C_{1} = \frac{2 x {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 12 u^{\frac{5}{2}}}{15}}{3} + C_{2}$

ステップ 2.3.6.2.13

$3$ を $- 12 u^{\frac{5}{2}}$ で因数分解します。

$y + C_{1} = \frac{2 x {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 (- 4 u^{\frac{5}{2}})}{15}}{3} + C_{2}$

ステップ 2.3.6.2.14

共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.6.2.14.1

$3$ を $15$ で因数分解します。

$y + C_{1} = \frac{2 x {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 (- 4 u^{\frac{5}{2}})}{3 (5)}}{3} + C_{2}$

ステップ 2.3.6.2.14.2

共通因数を約分します。

$y + C_{1} = \frac{2 x {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 (- 4 u^{\frac{5}{2}})}{3 \cdot 5}}{3} + C_{2}$

ステップ 2.3.6.2.14.3

式を書き換えます。

$y + C_{1} = \frac{2 x {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 4 u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C_{2}$

ステップ 2.3.6.2.15

分数の前に負数を移動させます。

$y + C_{1} = \frac{2 x {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C_{2}$

ステップ 2.3.6.2.16

$2 x {(x - 3)}^{\frac{3}{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$y + C_{1} = \frac{2 x {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{5}{5} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C_{2}$

ステップ 2.3.6.2.17

$2 x {(x - 3)}^{\frac{3}{2}}$ と $\frac{5}{5}$ をまとめます。

$y + C_{1} = \frac{\frac{2 x {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{5} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C_{2}$

ステップ 2.3.6.2.18

公分母の分子をまとめます。

$y + C_{1} = \frac{\frac{2 x {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5 - 4 u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C_{2}$

ステップ 2.3.6.2.19

$5$ に $2$ をかけます。

$y + C_{1} = \frac{\frac{10 x {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C_{2}$

ステップ 2.3.6.2.20

$\frac{\frac{10 x {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3}$ を積として書き換えます。

$y + C_{1} = \frac{10 x {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{5} \cdot \frac{1}{3} + C_{2}$

ステップ 2.3.6.2.21

$\frac{10 x {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{5}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$y + C_{1} = \frac{10 x {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{5 \cdot 3} + C_{2}$

ステップ 2.3.6.2.22

$5$ に $3$ をかけます。

$y + C_{1} = \frac{10 x {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{15} + C_{2}$

ステップ 2.3.7

$u$ のすべての発生を $x - 3$ で置き換えます。

$y + C_{1} = \frac{10 x {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} - 4 {(x - 3)}^{\frac{5}{2}}}{15} + C_{2}$

ステップ 2.3.8

項を並べ替えます。

$y + C_{1} = \frac{1}{15} (10 x {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} - 4 {(x - 3)}^{\frac{5}{2}}) + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$y = \frac{1}{15} (10 x {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} - 4 {(x - 3)}^{\frac{5}{2}}) + K$

微分積分 例

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