微分積分例

$\frac{d y}{d x} = 3 - \frac{y}{x}$

ステップ 1

$V = \frac{y}{x}$ とします。 $V$ を $\frac{y}{x}$ に代入します。

$\frac{d y}{d x} = 3 - V$

ステップ 2

$y$ について $V = \frac{y}{x}$ を解きます。

$y = V x$

ステップ 3

積の法則を利用し、 $x$ について $y = V x$ の微分係数を求めます。

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

ステップ 4

$x \frac{d V}{d x} + V$ を $\frac{d y}{d x}$ に代入します。

$x \frac{d V}{d x} + V = 3 - V$

ステップ 5

代入された微分方程式の解を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

変数を分けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

$\frac{d V}{d x}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1.1

$\frac{d V}{d x}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1.1.1

方程式の両辺から $V$ を引きます。

$x \frac{d V}{d x} = 3 - V - V$

ステップ 5.1.1.1.2

$- V$ から $V$ を引きます。

$x \frac{d V}{d x} = 3 - 2 V$

ステップ 5.1.1.2

$x \frac{d V}{d x} = 3 - 2 V$ の各項を $x$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1.2.1

$x \frac{d V}{d x} = 3 - 2 V$ の各項を $x$ で割ります。

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{3}{x} + \frac{- 2 V}{x}$

ステップ 5.1.1.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1.2.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{3}{x} + \frac{- 2 V}{x}$

ステップ 5.1.1.2.2.1.2

$\frac{d V}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d V}{d x} = \frac{3}{x} + \frac{- 2 V}{x}$

ステップ 5.1.1.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{3}{x} - \frac{2 V}{x}$

ステップ 5.1.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{3 - 2 V}{x}$

ステップ 5.1.3

両辺に $\frac{1}{3 - 2 V}$ を掛けます。

$\frac{1}{3 - 2 V} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{3 - 2 V} \cdot \frac{3 - 2 V}{x}$

ステップ 5.1.4

$3 - 2 V$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{3 - 2 V} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{3 - 2 V} \cdot \frac{3 - 2 V}{x}$

ステップ 5.1.4.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{3 - 2 V} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

ステップ 5.1.5

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{3 - 2 V} d V = \frac{1}{x} d x$

ステップ 5.2

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{3 - 2 V} d V = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 5.2.2

左辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

$u = 3 - 2 V$ とします。次に $d u = - 2 d V$ すると、 $- \frac{1}{2} d u = d V$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.1

$u = 3 - 2 V$ とします。 $\frac{d u}{d V}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.1.1

$3 - 2 V$ を微分します。

$\frac{d}{d V} [3 - 2 V]$

ステップ 5.2.2.1.1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.1.2.1

総和則では、 $3 - 2 V$ の $V$ に関する積分は $\frac{d}{d V} [3] + \frac{d}{d V} [- 2 V]$ です。

$\frac{d}{d V} [3] + \frac{d}{d V} [- 2 V]$

ステップ 5.2.2.1.1.2.2

$3$ は $V$ について定数なので、 $V$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d V} [- 2 V]$

ステップ 5.2.2.1.1.3

$\frac{d}{d V} [- 2 V]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.1.3.1

$- 2$ は $V$ に対して定数なので、 $V$ に対する $- 2 V$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d V} [V]$ です。

$0 - 2 \frac{d}{d V} [V]$

ステップ 5.2.2.1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ は $n V^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 - 2 \cdot 1$

ステップ 5.2.2.1.1.3.3

$- 2$ に $1$ をかけます。

$0 - 2$

ステップ 5.2.2.1.1.4

$0$ から $2$ を引きます。

$- 2$

ステップ 5.2.2.1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 5.2.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.2.1

分数の前に負数を移動させます。

$\int \frac{1}{u} (- \frac{1}{2}) d u = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 5.2.2.2.2

$\frac{1}{u}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\int - \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 5.2.2.2.3

$2$ を $u$ の左に移動させます。

$\int - \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 5.2.2.3

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 5.2.2.4

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 5.2.2.5

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 5.2.2.6

簡約します。

$- \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 5.2.2.7

$u$ のすべての発生を $3 - 2 V$ で置き換えます。

$- \frac{1}{2} \ln (| 3 - 2 V |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 5.2.3

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$- \frac{1}{2} \ln (| 3 - 2 V |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

ステップ 5.2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$- \frac{1}{2} \ln (| 3 - 2 V |) = \ln (| x |) + C$

ステップ 5.3

$V$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

方程式の両辺に $- 2$ を掛けます。

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 3 - 2 V |)) = - 2 (\ln (| x |) + C)$

ステップ 5.3.2

方程式の両辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1.1

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 3 - 2 V |))$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1.1.1

$\ln (| 3 - 2 V |)$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$- 2 (- \frac{\ln (| 3 - 2 V |)}{2}) = - 2 (\ln (| x |) + C)$

ステップ 5.3.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1.1.2.1

$- \frac{\ln (| 3 - 2 V |)}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$- 2 \frac{- \ln (| 3 - 2 V |)}{2} = - 2 (\ln (| x |) + C)$

ステップ 5.3.2.1.1.2.2

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$2 (- 1) \frac{- \ln (| 3 - 2 V |)}{2} = - 2 (\ln (| x |) + C)$

ステップ 5.3.2.1.1.2.3

共通因数を約分します。

$2 \cdot - 1 \frac{- \ln (| 3 - 2 V |)}{2} = - 2 (\ln (| x |) + C)$

ステップ 5.3.2.1.1.2.4

式を書き換えます。

$- - \ln (| 3 - 2 V |) = - 2 (\ln (| x |) + C)$

ステップ 5.3.2.1.1.3

掛け算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1.1.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 \ln (| 3 - 2 V |) = - 2 (\ln (| x |) + C)$

ステップ 5.3.2.1.1.3.2

$\ln (| 3 - 2 V |)$ に $1$ をかけます。

$\ln (| 3 - 2 V |) = - 2 (\ln (| x |) + C)$

ステップ 5.3.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.2.1

分配則を当てはめます。

$\ln (| 3 - 2 V |) = - 2 \ln (| x |) - 2 C$

ステップ 5.3.3

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$\ln (| 3 - 2 V |) + 2 \ln (| x |) = - 2 C$

ステップ 5.3.4

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.1

$\ln (| 3 - 2 V |) + 2 \ln (| x |)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.1.1.1

対数の中の $2$ を移動させて $2 \ln (| x |)$ を簡約します。

$\ln (| 3 - 2 V |) + \ln ({| x |}^{2}) = - 2 C$

ステップ 5.3.4.1.1.2

偶数乗をもつ累乗法は常に正なので、 ${| x |}^{2}$ の絶対値を削除します。

$\ln (| 3 - 2 V |) + \ln (x^{2}) = - 2 C$

ステップ 5.3.4.1.2

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$\ln (| 3 - 2 V | x^{2}) = - 2 C$

ステップ 5.3.4.1.3

$\ln (| 3 - 2 V | x^{2})$ の因数を並べ替えます。

$\ln (x^{2} | 3 - 2 V |) = - 2 C$

ステップ 5.3.5

$V$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (x^{2} | 3 - 2 V |)} = e^{- 2 C}$

ステップ 5.3.6

対数の定義を利用して $\ln (x^{2} | 3 - 2 V |) = - 2 C$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{- 2 C} = x^{2} | 3 - 2 V |$

ステップ 5.3.7

$V$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.7.1

方程式を $x^{2} | 3 - 2 V | = e^{- 2 C}$ として書き換えます。

$x^{2} | 3 - 2 V | = e^{- 2 C}$

ステップ 5.3.7.2

$x^{2} | 3 - 2 V | = e^{- 2 C}$ の各項を $x^{2}$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.7.2.1

$x^{2} | 3 - 2 V | = e^{- 2 C}$ の各項を $x^{2}$ で割ります。

$\frac{x^{2} | 3 - 2 V |}{x^{2}} = \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}$

ステップ 5.3.7.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.7.2.2.1

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.7.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x^{2} | 3 - 2 V |}{x^{2}} = \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}$

ステップ 5.3.7.2.2.1.2

$| 3 - 2 V |$ を $1$ で割ります。

$| 3 - 2 V | = \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}$

ステップ 5.3.7.3

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$3 - 2 V = \pm \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}$

ステップ 5.3.7.4

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$- 2 V = \pm \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}} - 3$

ステップ 5.3.7.5

$- 2 V = \pm \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}} - 3$ の各項を $- 2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.7.5.1

$- 2 V = \pm \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}} - 3$ の各項を $- 2$ で割ります。

$\frac{- 2 V}{- 2} = \frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}}{- 2} + \frac{- 3}{- 2}$

ステップ 5.3.7.5.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.7.5.2.1

$- 2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.7.5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 2 V}{- 2} = \frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}}{- 2} + \frac{- 3}{- 2}$

ステップ 5.3.7.5.2.1.2

$V$ を $1$ で割ります。

$V = \frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}}{- 2} + \frac{- 3}{- 2}$

ステップ 5.3.7.5.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.7.5.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.7.5.3.1.1

$\frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}}{- 2}$ を簡約します。

$V = \frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}}{2} + \frac{- 3}{- 2}$

ステップ 5.3.7.5.3.1.2

2つの負の値を割ると正の値になります。

$V = \frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}}{2} + \frac{3}{2}$

ステップ 5.4

定数項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

積分定数を簡約します。

$V = \frac{\pm \frac{C}{x^{2}}}{2} + \frac{3}{2}$

ステップ 5.4.2

定数を正または負でまとめます。

$V = \frac{C \frac{1}{x^{2}}}{2} + \frac{3}{2}$

ステップ 6

$\frac{y}{x}$ を $V$ に代入します。

$\frac{y}{x} = \frac{C \frac{1}{x^{2}}}{2} + \frac{3}{2}$

ステップ 7

$y$ について $\frac{y}{x} = \frac{C \frac{1}{x^{2}}}{2} + \frac{3}{2}$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

両辺に $x$ を掛けます。

$\frac{y}{x} x = (\frac{C (\frac{1}{x^{2}})}{2} + \frac{3}{2}) x$

ステップ 7.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y}{x} x = (\frac{C (\frac{1}{x^{2}})}{2} + \frac{3}{2}) x$

ステップ 7.2.1.1.2

式を書き換えます。

$y = (\frac{C (\frac{1}{x^{2}})}{2} + \frac{3}{2}) x$

ステップ 7.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1

$(\frac{C (\frac{1}{x^{2}})}{2} + \frac{3}{2}) x$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1.1.1

$C$ と $\frac{1}{x^{2}}$ をまとめます。

$y = (\frac{\frac{C}{x^{2}}}{2} + \frac{3}{2}) x$

ステップ 7.2.2.1.1.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$y = (\frac{C}{x^{2}} \cdot \frac{1}{2} + \frac{3}{2}) x$

ステップ 7.2.2.1.1.3

まとめる。

$y = (\frac{C \cdot 1}{x^{2} \cdot 2} + \frac{3}{2}) x$

ステップ 7.2.2.1.1.4

$C$ に $1$ をかけます。

$y = (\frac{C}{x^{2} \cdot 2} + \frac{3}{2}) x$

ステップ 7.2.2.1.1.5

$2$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$y = (\frac{C}{2 x^{2}} + \frac{3}{2}) x$

ステップ 7.2.2.1.2

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1.2.1

分配則を当てはめます。

$y = \frac{C}{2 x^{2}} x + \frac{3}{2} x$

ステップ 7.2.2.1.2.2

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1.2.2.1

$x$ を $2 x^{2}$ で因数分解します。

$y = \frac{C}{x (2 x)} x + \frac{3}{2} x$

ステップ 7.2.2.1.2.2.2

共通因数を約分します。

$y = \frac{C}{x (2 x)} x + \frac{3}{2} x$

ステップ 7.2.2.1.2.2.3

式を書き換えます。

$y = \frac{C}{2 x} + \frac{3}{2} x$

ステップ 7.2.2.1.2.3

$\frac{3}{2}$ と $x$ をまとめます。

$y = \frac{C}{2 x} + \frac{3 x}{2}$

ステップ 7.2.2.1.2.4

$\frac{C}{2 x}$ と $\frac{3 x}{2}$ を並べ替えます。

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{C}{2 x}$

微分積分 例

微分積分例