微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{x + 1}}$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$d y = \frac{1}{\sqrt{x + 1}} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int \frac{1}{\sqrt{x + 1}} d x$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int \frac{1}{\sqrt{x + 1}} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$u = x + 1$ とします。次に $d u = d x$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1

$u = x + 1$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1.1

$x + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

ステップ 2.3.1.1.2

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.3.1.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.3.1.1.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 2.3.1.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 2.3.1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$y + C_{1} = \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

ステップ 2.3.2

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u}$ を $u^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$y + C_{1} = \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

ステップ 2.3.2.2

$u^{\frac{1}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$y + C_{1} = \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

ステップ 2.3.2.3

${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y + C_{1} = \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

ステップ 2.3.2.3.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$y + C_{1} = \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

ステップ 2.3.2.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$y + C_{1} = \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 2.3.3

べき乗則では、 $u^{- \frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $2 u^{\frac{1}{2}}$ です。

$y + C_{1} = 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

ステップ 2.3.4

$u$ のすべての発生を $x + 1$ で置き換えます。

$y + C_{1} = 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$y = 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + K$

微分積分 例

微分積分例