微分積分例

$\frac{d y}{d x} - 3 y = \frac{1}{2} e^{x}$

ステップ 1

$P (x) = - 3$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

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ステップ 1.1

積分を設定します。

$e^{\int - 3 d x}$

ステップ 1.2

定数の法則を当てはめます。

$e^{- 3 x + C}$

ステップ 1.3

積分定数を削除します。

$e^{- 3 x}$

ステップ 2

各項に積分因数 $e^{- 3 x}$ を掛けます。

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ステップ 2.1

各項に $e^{- 3 x}$ を掛けます。

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} + e^{- 3 x} (- 3 y) = e^{- 3 x} (\frac{1}{2} e^{x})$

ステップ 2.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = e^{- 3 x} (\frac{1}{2} e^{x})$

ステップ 2.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = \frac{1}{2} e^{- 3 x} e^{x}$

ステップ 2.4

指数を足して $e^{- 3 x}$ に $e^{x}$ を掛けます。

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ステップ 2.4.1

$e^{x}$ を移動させます。

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = \frac{1}{2} (e^{x} e^{- 3 x})$

ステップ 2.4.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = \frac{1}{2} e^{x - 3 x}$

ステップ 2.4.3

$x$ から $3 x$ を引きます。

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = \frac{1}{2} e^{- 2 x}$

ステップ 2.5

$\frac{1}{2}$ と $e^{- 2 x}$ をまとめます。

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = \frac{e^{- 2 x}}{2}$

ステップ 2.6

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = \frac{e^{- 2 x}}{2}$ の因数を並べ替えます。

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 y e^{- 3 x} = \frac{e^{- 2 x}}{2}$

ステップ 3

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [e^{- 3 x} y] = \frac{e^{- 2 x}}{2}$

ステップ 4

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 3 x} y] d x = \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x$

ステップ 5

左辺を積分します。

$e^{- 3 x} y = \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x$

ステップ 6

右辺を積分します。

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ステップ 6.1

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$e^{- 3 x} y = \frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x$

ステップ 6.2

$u = - 2 x$ とします。次に $d u = - 2 d x$ すると、 $- \frac{1}{2} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 6.2.1

$u = - 2 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 6.2.1.1

$- 2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

ステップ 6.2.1.2

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 6.2.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 \cdot 1$

ステップ 6.2.1.4

$- 2$ に $1$ をかけます。

$- 2$

ステップ 6.2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$e^{- 3 x} y = \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

ステップ 6.3

簡約します。

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ステップ 6.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$e^{- 3 x} y = \frac{1}{2} \int e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

ステップ 6.3.2

$e^{u}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$e^{- 3 x} y = \frac{1}{2} \int - \frac{e^{u}}{2} d u$

ステップ 6.4

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$e^{- 3 x} y = \frac{1}{2} (- \int \frac{e^{u}}{2} d u)$

ステップ 6.5

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$e^{- 3 x} y = \frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int e^{u} d u))$

ステップ 6.6

簡約します。

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ステップ 6.6.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$e^{- 3 x} y = - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u$

ステップ 6.6.2

$2$ に $2$ をかけます。

$e^{- 3 x} y = - \frac{1}{4} \int e^{u} d u$

ステップ 6.7

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$e^{- 3 x} y = - \frac{1}{4} (e^{u} + C)$

ステップ 6.8

簡約します。

$e^{- 3 x} y = - \frac{1}{4} e^{u} + C$

ステップ 6.9

$u$ のすべての発生を $- 2 x$ で置き換えます。

$e^{- 3 x} y = - \frac{1}{4} e^{- 2 x} + C$

ステップ 7

$e^{- 3 x} y = - \frac{1}{4} e^{- 2 x} + C$ の各項を $e^{- 3 x}$ で割り、簡約します。

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ステップ 7.1

$e^{- 3 x} y = - \frac{1}{4} e^{- 2 x} + C$ の各項を $e^{- 3 x}$ で割ります。

$\frac{e^{- 3 x} y}{e^{- 3 x}} = \frac{- \frac{1}{4} e^{- 2 x}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

ステップ 7.2

左辺を簡約します。

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ステップ 7.2.1

$e^{- 3 x}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{- 3 x} y}{e^{- 3 x}} = \frac{- \frac{1}{4} e^{- 2 x}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

ステップ 7.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{- \frac{1}{4} e^{- 2 x}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

ステップ 7.3

右辺を簡約します。

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ステップ 7.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.3.1.1

$e^{- 2 x}$ と $e^{- 3 x}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.3.1.1.1

$e^{- 3 x}$ を $- \frac{1}{4} e^{- 2 x}$ で因数分解します。

$y = \frac{e^{- 3 x} (- \frac{1}{4} e^{x})}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

ステップ 7.3.1.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 7.3.1.1.2.1

$1$ を掛けます。

$y = \frac{e^{- 3 x} (- \frac{1}{4} e^{x})}{e^{- 3 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

ステップ 7.3.1.1.2.2

共通因数を約分します。

$y = \frac{e^{- 3 x} (- \frac{1}{4} e^{x})}{e^{- 3 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

ステップ 7.3.1.1.2.3

式を書き換えます。

$y = \frac{- \frac{1}{4} e^{x}}{1} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

ステップ 7.3.1.1.2.4

$- \frac{1}{4} e^{x}$ を $1$ で割ります。

$y = - \frac{1}{4} e^{x} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

ステップ 7.3.1.2

$e^{x}$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$y = - \frac{e^{x}}{4} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

微分積分 例

微分積分例