微分積分例

$\frac{d y}{d x} = 25 + y^{2}$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

両辺に $\frac{1}{25 + y^{2}}$ を掛けます。

$\frac{1}{25 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{25 + y^{2}} (25 + y^{2})$

ステップ 1.2

$25 + y^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{25 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{25 + y^{2}} (25 + y^{2})$

ステップ 1.2.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{25 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = 1$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{25 + y^{2}} d y = 1 d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{25 + y^{2}} d y = \int d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$\int \frac{1}{5^{2} + y^{2}} d y = \int d x$

ステップ 2.2.2

$\frac{1}{5^{2} + y^{2}}$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{5} \arctan (\frac{y}{5}) + C_{1}$ です。

$\frac{1}{5} \arctan (\frac{y}{5}) + C_{1} = \int d x$

ステップ 2.2.3

答えを簡約します。

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ステップ 2.2.3.1

$\frac{1}{5}$ と $\arctan (\frac{y}{5})$ をまとめます。

$\frac{\arctan (\frac{y}{5})}{5} + C_{1} = \int d x$

ステップ 2.2.3.2

$\frac{\arctan (\frac{y}{5})}{5} + C_{1}$ を $\frac{1}{5} \arctan (\frac{1}{5} y) + C_{1}$ に書き換えます。

$\frac{1}{5} \arctan (\frac{1}{5} y) + C_{1} = \int d x$

ステップ 2.3

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{5} \arctan (\frac{1}{5} y) + C_{1} = x + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$\frac{1}{5} \arctan (\frac{1}{5} y) = x + K$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

$\frac{1}{5} \arctan (\frac{1}{5} y) = x + K$ の各項に $5$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 3.1.1

$\frac{1}{5} \arctan (\frac{1}{5} y) = x + K$ の各項に $5$ を掛けます。

$\frac{1}{5} \arctan (\frac{1}{5} y) \cdot 5 = x \cdot 5 + K \cdot 5$

ステップ 3.1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.1.2.1

$\frac{1}{5}$ と $y$ をまとめます。

$\frac{1}{5} \arctan (\frac{y}{5}) \cdot 5 = x \cdot 5 + K \cdot 5$

ステップ 3.1.2.2

$\frac{1}{5}$ と $\arctan (\frac{y}{5})$ をまとめます。

$\frac{\arctan (\frac{y}{5})}{5} \cdot 5 = x \cdot 5 + K \cdot 5$

ステップ 3.1.2.3

$5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.2.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{\arctan (\frac{y}{5})}{5} \cdot 5 = x \cdot 5 + K \cdot 5$

ステップ 3.1.2.3.2

式を書き換えます。

$\arctan (\frac{y}{5}) = x \cdot 5 + K \cdot 5$

ステップ 3.1.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.1.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.1.3.1.1

$5$ を $x$ の左に移動させます。

$\arctan (\frac{y}{5}) = 5 \cdot x + K \cdot 5$

ステップ 3.1.3.1.2

$5$ を $K$ の左に移動させます。

$\arctan (\frac{y}{5}) = 5 x + 5 K$

ステップ 3.2

方程式の両辺の逆正接の逆をとり、逆正接の中から $y$ を取り出します。

$\frac{y}{5} = \tan (5 x + 5 K)$

ステップ 3.3

方程式の両辺に $5$ を掛けます。

$5 \frac{y}{5} = 5 \tan (5 x + 5 K)$

ステップ 3.4

左辺を簡約します。

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ステップ 3.4.1

$5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.1.1

共通因数を約分します。

$5 \frac{y}{5} = 5 \tan (5 x + 5 K)$

ステップ 3.4.1.2

式を書き換えます。

$y = 5 \tan (5 x + 5 K)$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$y = 5 \tan (5 x + K)$

微分積分 例

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