微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{x + 1}{e^{3 y + 9}}$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

両辺に $e^{3 y + 9}$ を掛けます。

$e^{3 y + 9} \frac{d y}{d x} = e^{3 y + 9} \frac{x + 1}{e^{3 y + 9}}$

ステップ 1.2

$e^{3 y + 9}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.1

共通因数を約分します。

$e^{3 y + 9} \frac{d y}{d x} = e^{3 y + 9} \frac{x + 1}{e^{3 y + 9}}$

ステップ 1.2.2

式を書き換えます。

$e^{3 y + 9} \frac{d y}{d x} = x + 1$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$e^{3 y + 9} d y = (x + 1) d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int e^{3 y + 9} d y = \int x + 1 d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

$u = 3 y + 9$ とします。次に $d u = 3 d y$ すると、 $\frac{1}{3} d u = d y$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.2.1.1

$u = 3 y + 9$ とします。 $\frac{d u}{d y}$ を求めます。

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ステップ 2.2.1.1.1

$3 y + 9$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [3 y + 9]$

ステップ 2.2.1.1.2

総和則では、 $3 y + 9$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [9]$ です。

$\frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [9]$

ステップ 2.2.1.1.3

$\frac{d}{d y} [3 y]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1.1.3.1

$3$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $3 y$ の微分係数は $3 \frac{d}{d y} [y]$ です。

$3 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [9]$

ステップ 2.2.1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [9]$

ステップ 2.2.1.1.3.3

$3$ に $1$ をかけます。

$3 + \frac{d}{d y} [9]$

ステップ 2.2.1.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 2.2.1.1.4.1

$9$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $9$ の微分係数は $0$ です。

$3 + 0$

ステップ 2.2.1.1.4.2

$3$ と $0$ をたし算します。

$3$

ステップ 2.2.1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int e^{u} \frac{1}{3} d u = \int x + 1 d x$

ステップ 2.2.2

$e^{u}$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\int \frac{e^{u}}{3} d u = \int x + 1 d x$

ステップ 2.2.3

$\frac{1}{3}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{3} \int e^{u} d u = \int x + 1 d x$

ステップ 2.2.4

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$\frac{1}{3} (e^{u} + C_{1}) = \int x + 1 d x$

ステップ 2.2.5

簡約します。

$\frac{1}{3} e^{u} + C_{1} = \int x + 1 d x$

ステップ 2.2.6

$u$ のすべての発生を $3 y + 9$ で置き換えます。

$\frac{1}{3} e^{3 y + 9} + C_{1} = \int x + 1 d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{1}{3} e^{3 y + 9} + C_{1} = \int x d x + \int d x$

ステップ 2.3.2

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$\frac{1}{3} e^{3 y + 9} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int d x$

ステップ 2.3.3

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{3} e^{3 y + 9} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + x + C_{3}$

ステップ 2.3.4

簡約します。

$\frac{1}{3} e^{3 y + 9} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + x + C_{4}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$\frac{1}{3} e^{3 y + 9} = \frac{1}{2} x^{2} + x + K$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺に $3$ を掛けます。

$3 (\frac{1}{3} e^{3 y + 9}) = 3 (\frac{1}{2} x^{2} + x + K)$

ステップ 3.2

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

$3 (\frac{1}{3} e^{3 y + 9})$ を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1.1

$\frac{1}{3}$ と $e^{3 y + 9}$ をまとめます。

$3 \frac{e^{3 y + 9}}{3} = 3 (\frac{1}{2} x^{2} + x + K)$

ステップ 3.2.1.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$3 \frac{e^{3 y + 9}}{3} = 3 (\frac{1}{2} x^{2} + x + K)$

ステップ 3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$e^{3 y + 9} = 3 (\frac{1}{2} x^{2} + x + K)$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$3 (\frac{1}{2} x^{2} + x + K)$ を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1.1

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$e^{3 y + 9} = 3 (\frac{x^{2}}{2} + x + K)$

ステップ 3.2.2.1.2

分配則を当てはめます。

$e^{3 y + 9} = 3 \frac{x^{2}}{2} + 3 x + 3 K$

ステップ 3.2.2.1.3

$3$ と $\frac{x^{2}}{2}$ をまとめます。

$e^{3 y + 9} = \frac{3 x^{2}}{2} + 3 x + 3 K$

ステップ 3.3

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{3 y + 9}) = \ln (\frac{3 x^{2}}{2} + 3 x + 3 K)$

ステップ 3.4

左辺を展開します。

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ステップ 3.4.1

$3 y + 9$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{3 y + 9})$ を展開します。

$(3 y + 9) \ln (e) = \ln (\frac{3 x^{2}}{2} + 3 x + 3 K)$

ステップ 3.4.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$(3 y + 9) \cdot 1 = \ln (\frac{3 x^{2}}{2} + 3 x + 3 K)$

ステップ 3.4.3

$3 y + 9$ に $1$ をかけます。

$3 y + 9 = \ln (\frac{3 x^{2}}{2} + 3 x + 3 K)$

ステップ 3.5

方程式の両辺から $9$ を引きます。

$3 y = \ln (\frac{3 x^{2}}{2} + 3 x + 3 K) - 9$

ステップ 3.6

$3 y = \ln (\frac{3 x^{2}}{2} + 3 x + 3 K) - 9$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.6.1

$3 y = \ln (\frac{3 x^{2}}{2} + 3 x + 3 K) - 9$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 y}{3} = \frac{\ln (\frac{3 x^{2}}{2} + 3 x + 3 K)}{3} + \frac{- 9}{3}$

ステップ 3.6.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.6.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.6.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 y}{3} = \frac{\ln (\frac{3 x^{2}}{2} + 3 x + 3 K)}{3} + \frac{- 9}{3}$

ステップ 3.6.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\ln (\frac{3 x^{2}}{2} + 3 x + 3 K)}{3} + \frac{- 9}{3}$

ステップ 3.6.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.6.3.1

$- 9$ を $3$ で割ります。

$y = \frac{\ln (\frac{3 x^{2}}{2} + 3 x + 3 K)}{3} - 3$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$y = \frac{\ln (\frac{3 x^{2}}{2} + 3 x + K)}{3} - 3$

微分積分 例

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