微分積分例

$y (x^{4} - y^{2}) d x + x (x^{4} + y^{2}) d y = 0$

ステップ 1

問題を数式で書きます。

$y (x^{4} - y^{2}) d x + x (x^{4} + y^{2}) d y = 0$

ステップ 2

$M (x, y) = y (x^{4} - y^{2})$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y (x^{4} - y^{2})]$

ステップ 2.2

$f (y) = y$ および $g (y) = x^{4} - y^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ は $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [x^{4} - y^{2}] + (x^{4} - y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 2.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

総和則では、 $x^{4} - y^{2}$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [x^{4}] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (\frac{d}{d y} [x^{4}] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]) + (x^{4} - y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 2.3.2

$x^{4}$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $x^{4}$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (0 + \frac{d}{d y} [- y^{2}]) + (x^{4} - y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 2.3.3

$0$ と $\frac{d}{d y} [- y^{2}]$ をたし算します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [- y^{2}] + (x^{4} - y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 2.3.4

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $- y^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d y} [y^{2}]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- \frac{d}{d y} [y^{2}]) + (x^{4} - y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 2.3.5

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- (2 y)) + (x^{4} - y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 2.3.6

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- 2 y) + (x^{4} - y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 2.4

$y$ を $1$ 乗します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 (y^{1} y) + (x^{4} - y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 2.5

$y$ を $1$ 乗します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 (y^{1} y^{1}) + (x^{4} - y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 2.6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 y^{1 + 1} + (x^{4} - y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 2.7

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 y^{2} + (x^{4} - y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 2.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 y^{2} + (x^{4} - y^{2}) \cdot 1$

ステップ 2.9

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.9.1

$x^{4} - y^{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 y^{2} + x^{4} - y^{2}$

ステップ 2.9.2

$- 2 y^{2}$ から $y^{2}$ を引きます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = x^{4} - 3 y^{2}$

ステップ 3

$N (x, y) = x (x^{4} + y^{2})$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x (x^{4} + y^{2})]$

ステップ 3.2

$f (x) = x$ および $g (x) = x^{4} + y^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [x^{4} + y^{2}] + (x^{4} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

総和則では、 $x^{4} + y^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]) + (x^{4} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.3.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [y^{2}]) + (x^{4} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.3.3

$y^{2}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $y^{2}$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (4 x^{3} + 0) + (x^{4} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.3.4

$4 x^{3}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (4 x^{3}) + (x^{4} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.4

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 (x^{1} x^{3}) + (x^{4} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x^{1 + 3} + (x^{4} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.6

$1$ と $3$ をたし算します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x^{4} + (x^{4} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x^{4} + (x^{4} + y^{2}) \cdot 1$

ステップ 3.8

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.1

$x^{4} + y^{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x^{4} + x^{4} + y^{2}$

ステップ 3.8.2

$4 x^{4}$ と $x^{4}$ をたし算します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 5 x^{4} + y^{2}$

ステップ 4

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$x^{4} - 3 y^{2}$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $5 x^{4} + y^{2}$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$x^{4} - 3 y^{2} = 5 x^{4} + y^{2}$

ステップ 4.2

方程式の左辺が右辺に等しくないので、方程式は恒等式ではありません。

$x^{4} - 3 y^{2} = 5 x^{4} + y^{2}$ は恒等式ではありません。

ステップ 5

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$x^{4} - 3 y^{2}$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に代入します。

$\frac{x^{4} - 3 y^{2} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

ステップ 5.2

$5 x^{4} + y^{2}$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$\frac{x^{4} - 3 y^{2} - (5 x^{4} + y^{2})}{N}$

ステップ 5.3

$x (x^{4} + y^{2})$ を $N$ に代入します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

$x (x^{4} + y^{2})$ を $N$ に代入します。

$\frac{x^{4} - 3 y^{2} - (5 x^{4} + y^{2})}{x (x^{4} + y^{2})}$

ステップ 5.3.2

分子を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1

$u = y^{2}$ とします。 $u$ を $y^{2}$ に代入します。

$\frac{- 4 x^{4} - 4 u}{x (x^{4} + y^{2})}$

ステップ 5.3.2.2

$4$ を $- 4 x^{4} - 4 u$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.2.1

$4$ を $- 4 x^{4}$ で因数分解します。

$\frac{4 (- x^{4}) - 4 u}{x (x^{4} + y^{2})}$

ステップ 5.3.2.2.2

$4$ を $- 4 u$ で因数分解します。

$\frac{4 (- x^{4}) + 4 (- u)}{x (x^{4} + y^{2})}$

ステップ 5.3.2.2.3

$4$ を $4 (- x^{4}) + 4 (- u)$ で因数分解します。

$\frac{4 (- x^{4} - u)}{x (x^{4} + y^{2})}$

ステップ 5.3.2.3

$u$ のすべての発生を $y^{2}$ で置き換えます。

$\frac{4 (- x^{4} - y^{2})}{x (x^{4} + y^{2})}$

ステップ 5.3.3

$- x^{4} - y^{2}$ と $x^{4} + y^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.3.1

$- 1$ を $- x^{4}$ で因数分解します。

$\frac{4 (- (x^{4}) - y^{2})}{x (x^{4} + y^{2})}$

ステップ 5.3.3.2

$- 1$ を $- y^{2}$ で因数分解します。

$\frac{4 (- (x^{4}) - (y^{2}))}{x (x^{4} + y^{2})}$

ステップ 5.3.3.3

$- 1$ を $- (x^{4}) - (y^{2})$ で因数分解します。

$\frac{4 (- (x^{4} + y^{2}))}{x (x^{4} + y^{2})}$

ステップ 5.3.3.4

$- (x^{4} + y^{2})$ を $- 1 (x^{4} + y^{2})$ に書き換えます。

$\frac{4 (- 1 (x^{4} + y^{2}))}{x (x^{4} + y^{2})}$

ステップ 5.3.3.5

共通因数を約分します。

$\frac{4 (- 1 (x^{4} + y^{2}))}{x (x^{4} + y^{2})}$

ステップ 5.3.3.6

式を書き換えます。

$\frac{4 \cdot (- 1)}{x}$

ステップ 5.3.4

$4$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- 4}{x}$

ステップ 5.3.5

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{4}{x}$

ステップ 5.4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ を求めます。

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{4}{x} d x}$

ステップ 6

積分 $e^{\int - \frac{4}{x} d x}$ を求めます。

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ステップ 6.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{4}{x} d x}$

ステップ 6.2

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$μ (x, y) = e^{- (4 \int \frac{1}{x} d x)}$

ステップ 6.3

$4$ に $- 1$ をかけます。

$μ (x, y) = e^{- 4 \int \frac{1}{x} d x}$

ステップ 6.4

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$μ (x, y) = e^{- 4 (\ln (| x |) + C)}$

ステップ 6.5

簡約します。

$μ (x, y) = e^{- 4 \ln (| x |)} + C$

ステップ 6.6

各項を簡約します。

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ステップ 6.6.1

対数の中の $- 4$ を移動させて $- 4 \ln (| x |)$ を簡約します。

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 4})} + C$

ステップ 6.6.2

指数関数と対数関数は逆関数です。

$μ (x, y) = {| x |}^{- 4} + C$

ステップ 6.6.3

偶数乗をもつ累乗法は常に正なので、 ${| x |}^{- 4}$ の絶対値を削除します。

$μ (x, y) = x^{- 4} + C$

ステップ 6.6.4

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$μ (x, y) = \frac{1}{x^{4}} + C$

ステップ 7

$y (x^{4} - y^{2}) d x + x (x^{4} + y^{2}) d y = 0$ の両辺に積分因子 $\frac{1}{x^{4}}$ を掛けます。

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ステップ 7.1

$y (x^{4} - y^{2})$ に $\frac{1}{x^{4}}$ をかけます。

$y (x^{4} - y^{2}) \frac{1}{x^{4}} d x + x (x^{4} + y^{2}) d y = 0$

ステップ 7.2

分配則を当てはめます。

$(y x^{4} + y (- y^{2})) \frac{1}{x^{4}} d x + x (x^{4} + y^{2}) d y = 0$

ステップ 7.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$(y x^{4} - y \cdot y^{2}) \frac{1}{x^{4}} d x + x (x^{4} + y^{2}) d y = 0$

ステップ 7.4

指数を足して $y$ に $y^{2}$ を掛けます。

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ステップ 7.4.1

$y^{2}$ を移動させます。

$(y x^{4} - (y^{2} y)) \frac{1}{x^{4}} d x + x (x^{4} + y^{2}) d y = 0$

ステップ 7.4.2

$y^{2}$ に $y$ をかけます。

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ステップ 7.4.2.1

$y$ を $1$ 乗します。

$(y x^{4} - (y^{2} y^{1})) \frac{1}{x^{4}} d x + x (x^{4} + y^{2}) d y = 0$

ステップ 7.4.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$(y x^{4} - y^{2 + 1}) \frac{1}{x^{4}} d x + x (x^{4} + y^{2}) d y = 0$

ステップ 7.4.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$(y x^{4} - y^{3}) \frac{1}{x^{4}} d x + x (x^{4} + y^{2}) d y = 0$

ステップ 7.5

$y x^{4} - y^{3}$ に $\frac{1}{x^{4}}$ をかけます。

$\frac{y x^{4} - y^{3}}{x^{4}} d x + x (x^{4} + y^{2}) d y = 0$

ステップ 7.6

分子を簡約します。

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ステップ 7.6.1

$y$ を $y x^{4} - y^{3}$ で因数分解します。

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ステップ 7.6.1.1

$y$ を $y x^{4}$ で因数分解します。

$\frac{y (x^{4}) - y^{3}}{x^{4}} d x + x (x^{4} + y^{2}) d y = 0$

ステップ 7.6.1.2

$y$ を $- y^{3}$ で因数分解します。

$\frac{y (x^{4}) + y (- y^{2})}{x^{4}} d x + x (x^{4} + y^{2}) d y = 0$

ステップ 7.6.1.3

$y$ を $y (x^{4}) + y (- y^{2})$ で因数分解します。

$\frac{y (x^{4} - y^{2})}{x^{4}} d x + x (x^{4} + y^{2}) d y = 0$

ステップ 7.6.2

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{y ({(x^{2})}^{2} - y^{2})}{x^{4}} d x + x (x^{4} + y^{2}) d y = 0$

ステップ 7.6.3

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x^{2}$ であり、 $b = y$ です。

$\frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}} d x + x (x^{4} + y^{2}) d y = 0$

ステップ 7.7

$x (x^{4} + y^{2})$ に $\frac{1}{x^{4}}$ をかけます。

$\frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}} d x + x (x^{4} + y^{2}) \frac{1}{x^{4}} d y = 0$

ステップ 7.8

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.8.1

$x$ を $x^{4}$ で因数分解します。

$\frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}} d x + x (x^{4} + y^{2}) \frac{1}{x \cdot x^{3}} d y = 0$

ステップ 7.8.2

共通因数を約分します。

$\frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}} d x + x (x^{4} + y^{2}) \frac{1}{x \cdot x^{3}} d y = 0$

ステップ 7.8.3

式を書き換えます。

$\frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}} d x + (x^{4} + y^{2}) \frac{1}{x^{3}} d y = 0$

ステップ 7.9

$x^{4} + y^{2}$ に $\frac{1}{x^{3}}$ をかけます。

$\frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}} d x + \frac{x^{4} + y^{2}}{x^{3}} d y = 0$

ステップ 8

$f (x, y)$ は $N (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int \frac{x^{4} + y^{2}}{x^{3}} d y$

ステップ 9

$N (x, y) = \frac{x^{4} + y^{2}}{x^{3}}$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

$\frac{1}{x^{3}}$ は $y$ に対して定数なので、 $\frac{1}{x^{3}}$ を積分の外に移動させます。

$f (x, y) = \frac{1}{x^{3}} \int x^{4} + y^{2} d y$

ステップ 9.2

単一積分を複数積分に分割します。

$f (x, y) = \frac{1}{x^{3}} (\int x^{4} d y + \int y^{2} d y)$

ステップ 9.3

定数の法則を当てはめます。

$f (x, y) = \frac{1}{x^{3}} (x^{4} y + C + \int y^{2} d y)$

ステップ 9.4

べき乗則では、 $y^{2}$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{3} y^{3}$ です。

$f (x, y) = \frac{1}{x^{3}} (x^{4} y + C + \frac{1}{3} y^{3} + C)$

ステップ 9.5

$\frac{1}{3}$ と $y^{3}$ をまとめます。

$f (x, y) = \frac{1}{x^{3}} (x^{4} y + C + \frac{y^{3}}{3} + C)$

ステップ 9.6

簡約します。

$f (x, y) = \frac{1}{x^{3}} (x^{4} y + \frac{1}{3} y^{3}) + C$

ステップ 10

$g (x)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (x)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = \frac{1}{x^{3}} (x^{4} y + \frac{1}{3} y^{3}) + g (x)$

ステップ 11

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

ステップ 12

$\frac{\partial f}{\partial x}$ を求めます。

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ステップ 12.1

$x$ に関して $f$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}} (x^{4} y + \frac{1}{3} y^{3}) + g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

ステップ 12.2

総和則では、 $\frac{1}{x^{3}} (x^{4} y + \frac{1}{3} y^{3}) + g (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}} (x^{4} y + \frac{1}{3} y^{3})] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}} (x^{4} y + \frac{1}{3} y^{3})] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

ステップ 12.3

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}} (x^{4} y + \frac{1}{3} y^{3})]$ の値を求めます。

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ステップ 12.3.1

$\frac{1}{3}$ と $y^{3}$ をまとめます。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}} (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3})] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

ステップ 12.3.2

$f (x) = \frac{1}{x^{3}}$ および $g (x) = x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}] + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

ステップ 12.3.3

総和則では、 $x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{4} y] + \frac{d}{d x} [\frac{y^{3}}{3}]$ です。

$\frac{1}{x^{3}} (\frac{d}{d x} [x^{4} y] + \frac{d}{d x} [\frac{y^{3}}{3}]) + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

ステップ 12.3.4

$y$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $x^{4} y$ の微分係数は $y \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$\frac{1}{x^{3}} (y \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{y^{3}}{3}]) + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

ステップ 12.3.5

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{x^{3}} (y (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{y^{3}}{3}]) + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

ステップ 12.3.6

$\frac{y^{3}}{3}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $\frac{y^{3}}{3}$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{x^{3}} (y (4 x^{3}) + 0) + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

ステップ 12.3.7

$\frac{1}{x^{3}}$ を ${(x^{3})}^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{1}{x^{3}} (y (4 x^{3}) + 0) + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

ステップ 12.3.8

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.3.8.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{3}$ とします。

$\frac{1}{x^{3}} (y (4 x^{3}) + 0) + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

ステップ 12.3.8.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{x^{3}} (y (4 x^{3}) + 0) + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

ステップ 12.3.8.3

$u$ のすべての発生を $x^{3}$ で置き換えます。

$\frac{1}{x^{3}} (y (4 x^{3}) + 0) + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

ステップ 12.3.9

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{x^{3}} (y (4 x^{3}) + 0) + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

ステップ 12.3.10

$4$ を $y$ の左に移動させます。

$\frac{1}{x^{3}} (4 \cdot y x^{3} + 0) + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

ステップ 12.3.11

$4 y x^{3}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{x^{3}} (4 y x^{3}) + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

ステップ 12.3.12

$4$ と $\frac{1}{x^{3}}$ をまとめます。

$\frac{4}{x^{3}} (y x^{3}) + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

ステップ 12.3.13

$y$ と $\frac{4}{x^{3}}$ をまとめます。

$\frac{y \cdot 4}{x^{3}} x^{3} + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

ステップ 12.3.14

$\frac{y \cdot 4}{x^{3}}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$\frac{y \cdot 4 x^{3}}{x^{3}} + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

ステップ 12.3.15

$4$ を $y$ の左に移動させます。

$\frac{4 \cdot y x^{3}}{x^{3}} + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

ステップ 12.3.16

$x^{3}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.3.16.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 y x^{3}}{x^{3}} + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

ステップ 12.3.16.2

$4 y$ を $1$ で割ります。

$4 y + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

ステップ 12.3.17

${(x^{3})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.3.17.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$4 y + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

ステップ 12.3.17.2

$3$ に $- 2$ をかけます。

$4 y + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

ステップ 12.3.18

$3$ に $- 1$ をかけます。

$4 y + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

ステップ 12.3.19

指数を足して $x^{- 6}$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.3.19.1

$x^{2}$ を移動させます。

$4 y + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

ステップ 12.3.19.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$4 y + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

ステップ 12.3.19.3

$2$ から $6$ を引きます。

$4 y + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

ステップ 12.4

$g (x)$ の微分係数は $\frac{d g}{d x}$ であるという関数の規則を使って微分します。

$4 y + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- 3 x^{- 4}) + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

ステップ 12.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.5.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$4 y + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- 3 \frac{1}{x^{4}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

ステップ 12.5.2

分配則を当てはめます。

$4 y + x^{4} y (- 3 \frac{1}{x^{4}}) + \frac{y^{3}}{3} (- 3 \frac{1}{x^{4}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

ステップ 12.5.3

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.5.3.1

$- 3$ と $\frac{1}{x^{4}}$ をまとめます。

$4 y + x^{4} y \frac{- 3}{x^{4}} + \frac{y^{3}}{3} (- 3 \frac{1}{x^{4}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

ステップ 12.5.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$4 y + x^{4} y (- \frac{3}{x^{4}}) + \frac{y^{3}}{3} (- 3 \frac{1}{x^{4}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

ステップ 12.5.3.3

$x^{4}$ と $\frac{3}{x^{4}}$ をまとめます。

$4 y + y (- \frac{x^{4} \cdot 3}{x^{4}}) + \frac{y^{3}}{3} (- 3 \frac{1}{x^{4}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

ステップ 12.5.3.4

$y$ と $\frac{x^{4} \cdot 3}{x^{4}}$ をまとめます。

$4 y - \frac{y (x^{4} \cdot 3)}{x^{4}} + \frac{y^{3}}{3} (- 3 \frac{1}{x^{4}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

ステップ 12.5.3.5

$3$ を $x^{4}$ の左に移動させます。

$4 y - \frac{y (3 \cdot x^{4})}{x^{4}} + \frac{y^{3}}{3} (- 3 \frac{1}{x^{4}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

ステップ 12.5.3.6

$3$ を $y$ の左に移動させます。

$4 y - \frac{3 \cdot y x^{4}}{x^{4}} + \frac{y^{3}}{3} (- 3 \frac{1}{x^{4}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

ステップ 12.5.3.7

$x^{4}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.5.3.7.1

共通因数を約分します。

$4 y - \frac{3 y x^{4}}{x^{4}} + \frac{y^{3}}{3} (- 3 \frac{1}{x^{4}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

ステップ 12.5.3.7.2

$3 y$ を $1$ で割ります。

$4 y - (3 y) + \frac{y^{3}}{3} (- 3 \frac{1}{x^{4}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

ステップ 12.5.3.8

$3$ に $- 1$ をかけます。

$4 y - 3 y + \frac{y^{3}}{3} (- 3 \frac{1}{x^{4}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

ステップ 12.5.3.9

$- 3$ と $\frac{1}{x^{4}}$ をまとめます。

$4 y - 3 y + \frac{y^{3}}{3} \cdot \frac{- 3}{x^{4}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

ステップ 12.5.3.10

分数の前に負数を移動させます。

$4 y - 3 y + \frac{y^{3}}{3} (- \frac{3}{x^{4}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

ステップ 12.5.3.11

$\frac{y^{3}}{3}$ に $\frac{3}{x^{4}}$ をかけます。

$4 y - 3 y - \frac{y^{3} \cdot 3}{3 x^{4}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

ステップ 12.5.3.12

$3$ を $y^{3}$ の左に移動させます。

$4 y - 3 y - \frac{3 \cdot y^{3}}{3 x^{4}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

ステップ 12.5.3.13

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.5.3.13.1

共通因数を約分します。

$4 y - 3 y - \frac{3 y^{3}}{3 x^{4}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

ステップ 12.5.3.13.2

式を書き換えます。

$4 y - 3 y - \frac{y^{3}}{x^{4}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

ステップ 12.5.3.14

$4 y$ から $3 y$ を引きます。

$y - \frac{y^{3}}{x^{4}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

ステップ 12.5.4

項を並べ替えます。

$\frac{d g}{d x} + y - \frac{y^{3}}{x^{4}} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

ステップ 13

$\frac{d g}{d x}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

変数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.1

方程式の両辺から $\frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} + y - \frac{y^{3}}{x^{4}} - \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}} = 0$

ステップ 13.1.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}} = 0$

ステップ 13.1.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} + (- y x^{2} - y \cdot y) (x^{2} - y)}{x^{4}} = 0$

ステップ 13.1.3.2

指数を足して $y$ に $y$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.3.2.1

$y$ を移動させます。

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} + (- y x^{2} - (y \cdot y)) (x^{2} - y)}{x^{4}} = 0$

ステップ 13.1.3.2.2

$y$ に $y$ をかけます。

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} + (- y x^{2} - y^{2}) (x^{2} - y)}{x^{4}} = 0$

ステップ 13.1.3.3

分配法則（FOIL法）を使って $(- y x^{2} - y^{2}) (x^{2} - y)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.3.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{2} (x^{2} - y) - y^{2} (x^{2} - y)}{x^{4}} = 0$

ステップ 13.1.3.3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{2} x^{2} - y x^{2} (- y) - y^{2} (x^{2} - y)}{x^{4}} = 0$

ステップ 13.1.3.3.3

分配則を当てはめます。

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{2} x^{2} - y x^{2} (- y) - y^{2} x^{2} - y^{2} (- y)}{x^{4}} = 0$

ステップ 13.1.3.4

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.3.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.3.4.1.1

指数を足して $x^{2}$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.3.4.1.1.1

$x^{2}$ を移動させます。

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y (x^{2} x^{2}) - y x^{2} (- y) - y^{2} x^{2} - y^{2} (- y)}{x^{4}} = 0$

ステップ 13.1.3.4.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{2 + 2} - y x^{2} (- y) - y^{2} x^{2} - y^{2} (- y)}{x^{4}} = 0$

ステップ 13.1.3.4.1.1.3

$2$ と $2$ をたし算します。

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{4} - y x^{2} (- y) - y^{2} x^{2} - y^{2} (- y)}{x^{4}} = 0$

ステップ 13.1.3.4.1.2

指数を足して $y$ に $y$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.3.4.1.2.1

$y$ を移動させます。

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{4} - (y \cdot y) x^{2} \cdot - 1 - y^{2} x^{2} - y^{2} (- y)}{x^{4}} = 0$

ステップ 13.1.3.4.1.2.2

$y$ に $y$ をかけます。

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{4} - y^{2} x^{2} \cdot - 1 - y^{2} x^{2} - y^{2} (- y)}{x^{4}} = 0$

ステップ 13.1.3.4.1.3

$- y^{2} x^{2} \cdot - 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.3.4.1.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{4} + 1 y^{2} x^{2} - y^{2} x^{2} - y^{2} (- y)}{x^{4}} = 0$

ステップ 13.1.3.4.1.3.2

$y^{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{4} + y^{2} x^{2} - y^{2} x^{2} - y^{2} (- y)}{x^{4}} = 0$

ステップ 13.1.3.4.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{4} + y^{2} x^{2} - y^{2} x^{2} - 1 \cdot - 1 y^{2} y}{x^{4}} = 0$

ステップ 13.1.3.4.1.5

指数を足して $y^{2}$ に $y$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.3.4.1.5.1

$y$ を移動させます。

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{4} + y^{2} x^{2} - y^{2} x^{2} - 1 \cdot - 1 (y \cdot y^{2})}{x^{4}} = 0$

ステップ 13.1.3.4.1.5.2

$y$ に $y^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.3.4.1.5.2.1

$y$ を $1$ 乗します。

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{4} + y^{2} x^{2} - y^{2} x^{2} - 1 \cdot - 1 (y^{1} y^{2})}{x^{4}} = 0$

ステップ 13.1.3.4.1.5.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{4} + y^{2} x^{2} - y^{2} x^{2} - 1 \cdot - 1 y^{1 + 2}}{x^{4}} = 0$

ステップ 13.1.3.4.1.5.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{4} + y^{2} x^{2} - y^{2} x^{2} - 1 \cdot - 1 y^{3}}{x^{4}} = 0$

ステップ 13.1.3.4.1.6

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{4} + y^{2} x^{2} - y^{2} x^{2} + 1 y^{3}}{x^{4}} = 0$

ステップ 13.1.3.4.1.7

$y^{3}$ に $1$ をかけます。

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{4} + y^{2} x^{2} - y^{2} x^{2} + y^{3}}{x^{4}} = 0$

ステップ 13.1.3.4.2

$y^{2} x^{2}$ から $y^{2} x^{2}$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{4} + 0 + y^{3}}{x^{4}} = 0$

ステップ 13.1.3.4.3

$- y x^{4}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{4} + y^{3}}{x^{4}} = 0$

ステップ 13.1.4

$- y^{3} - y x^{4} + y^{3}$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.4.1

$- y^{3}$ と $y^{3}$ をたし算します。

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y x^{4} + 0}{x^{4}} = 0$

ステップ 13.1.4.2

$- y x^{4}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y x^{4}}{x^{4}} = 0$

ステップ 13.1.5

$x^{4}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y x^{4}}{x^{4}} = 0$

ステップ 13.1.5.2

$- y$ を $1$ で割ります。

$\frac{d g}{d x} + y - y = 0$

ステップ 13.1.6

$\frac{d g}{d x} + y - y$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.6.1

$y$ から $y$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} + 0 = 0$

ステップ 13.1.6.2

$\frac{d g}{d x}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d g}{d x} = 0$

ステップ 14

$0$ の不定積分を求めて $g (x)$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1

$\frac{d g}{d x} = 0$ の両辺を積分します。

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

ステップ 14.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ の値を求めます。

$g (x) = \int 0 d x$

ステップ 14.3

$0$ の $x$ に関する積分は $0$ です。

$g (x) = 0 + C$

ステップ 14.4

$0$ と $C$ をたし算します。

$g (x) = C$

ステップ 15

$f (x, y) = \frac{1}{x^{3}} (x^{4} y + \frac{1}{3} y^{3}) + g (x)$ の $g (x)$ に代入します。

$f (x, y) = \frac{1}{x^{3}} (x^{4} y + \frac{1}{3} y^{3}) + C$

ステップ 16

各項を簡約します。

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ステップ 16.1

$\frac{1}{3}$ と $y^{3}$ をまとめます。

$f (x, y) = \frac{1}{x^{3}} (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) + C$

ステップ 16.2

$\frac{1}{x^{3}}$ に $x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}$ をかけます。

$f (x, y) = \frac{x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}}{x^{3}} + C$

ステップ 16.3

分子を簡約します。

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ステップ 16.3.1

$y$ を $x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}$ で因数分解します。

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ステップ 16.3.1.1

$y$ を $x^{4} y$ で因数分解します。

$f (x, y) = \frac{y x^{4} + \frac{y^{3}}{3}}{x^{3}} + C$

ステップ 16.3.1.2

$y$ を $\frac{y^{3}}{3}$ で因数分解します。

$f (x, y) = \frac{y x^{4} + y \frac{y^{2}}{3}}{x^{3}} + C$

ステップ 16.3.1.3

$y$ を $y x^{4} + y \frac{y^{2}}{3}$ で因数分解します。

$f (x, y) = \frac{y (x^{4} + \frac{y^{2}}{3})}{x^{3}} + C$

ステップ 16.3.2

$x^{4}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$f (x, y) = \frac{y (x^{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{y^{2}}{3})}{x^{3}} + C$

ステップ 16.3.3

$x^{4}$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$f (x, y) = \frac{y (\frac{x^{4} \cdot 3}{3} + \frac{y^{2}}{3})}{x^{3}} + C$

ステップ 16.3.4

公分母の分子をまとめます。

$f (x, y) = \frac{y \frac{x^{4} \cdot 3 + y^{2}}{3}}{x^{3}} + C$

ステップ 16.3.5

$3$ を $x^{4}$ の左に移動させます。

$f (x, y) = \frac{y \frac{3 x^{4} + y^{2}}{3}}{x^{3}} + C$

ステップ 16.4

$y$ と $\frac{3 x^{4} + y^{2}}{3}$ をまとめます。

$f (x, y) = \frac{\frac{y (3 x^{4} + y^{2})}{3}}{x^{3}} + C$

ステップ 16.5

分子に分母の逆数を掛けます。

$f (x, y) = \frac{y (3 x^{4} + y^{2})}{3} \cdot \frac{1}{x^{3}} + C$

ステップ 16.6

まとめる。

$f (x, y) = \frac{y (3 x^{4} + y^{2}) \cdot 1}{3 x^{3}} + C$

ステップ 16.7

$y$ に $1$ をかけます。

$f (x, y) = \frac{y (3 x^{4} + y^{2})}{3 x^{3}} + C$

微分積分 例

微分積分例