微分積分例

$\frac{d y}{d x} = {(\frac{1 + x}{1 + y})}^{2}$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

積の法則を $\frac{1 + x}{1 + y}$ に当てはめます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{{(1 + x)}^{2}}{{(1 + y)}^{2}}$

ステップ 1.2

両辺に ${(1 + y)}^{2}$ を掛けます。

${(1 + y)}^{2} \frac{d y}{d x} = {(1 + y)}^{2} \frac{{(1 + x)}^{2}}{{(1 + y)}^{2}}$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

${(1 + y)}^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.1.1

共通因数を約分します。

${(1 + y)}^{2} \frac{d y}{d x} = {(1 + y)}^{2} \frac{{(1 + x)}^{2}}{{(1 + y)}^{2}}$

ステップ 1.3.1.2

式を書き換えます。

${(1 + y)}^{2} \frac{d y}{d x} = {(1 + x)}^{2}$

ステップ 1.3.2

${(1 + x)}^{2}$ を $(1 + x) (1 + x)$ に書き換えます。

${(1 + y)}^{2} \frac{d y}{d x} = (1 + x) (1 + x)$

ステップ 1.3.3

分配法則（FOIL法）を使って $(1 + x) (1 + x)$ を展開します。

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ステップ 1.3.3.1

分配則を当てはめます。

${(1 + y)}^{2} \frac{d y}{d x} = 1 (1 + x) + x (1 + x)$

ステップ 1.3.3.2

分配則を当てはめます。

${(1 + y)}^{2} \frac{d y}{d x} = 1 \cdot 1 + 1 x + x (1 + x)$

ステップ 1.3.3.3

分配則を当てはめます。

${(1 + y)}^{2} \frac{d y}{d x} = 1 \cdot 1 + 1 x + x \cdot 1 + x \cdot x$

ステップ 1.3.4

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 1.3.4.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.3.4.1.1

$1$ に $1$ をかけます。

${(1 + y)}^{2} \frac{d y}{d x} = 1 + 1 x + x \cdot 1 + x \cdot x$

ステップ 1.3.4.1.2

$x$ に $1$ をかけます。

${(1 + y)}^{2} \frac{d y}{d x} = 1 + x + x \cdot 1 + x \cdot x$

ステップ 1.3.4.1.3

$x$ に $1$ をかけます。

${(1 + y)}^{2} \frac{d y}{d x} = 1 + x + x + x \cdot x$

ステップ 1.3.4.1.4

$x$ に $x$ をかけます。

${(1 + y)}^{2} \frac{d y}{d x} = 1 + x + x + x^{2}$

ステップ 1.3.4.2

$x$ と $x$ をたし算します。

${(1 + y)}^{2} \frac{d y}{d x} = 1 + 2 x + x^{2}$

ステップ 1.4

方程式を書き換えます。

${(1 + y)}^{2} d y = (1 + 2 x + x^{2}) d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int {(1 + y)}^{2} d y = \int 1 + 2 x + x^{2} d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

$u = 1 + y$ とします。次に $d u = d y$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.2.1.1

$u = 1 + y$ とします。 $\frac{d u}{d y}$ を求めます。

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ステップ 2.2.1.1.1

$1 + y$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [1 + y]$

ステップ 2.2.1.1.2

総和則では、 $1 + y$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$ です。

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 2.2.1.1.3

$1$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 2.2.1.1.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 1$

ステップ 2.2.1.1.5

$0$ と $1$ をたし算します。

$1$

ステップ 2.2.1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int u^{2} d u = \int 1 + 2 x + x^{2} d x$

ステップ 2.2.2

べき乗則では、 $u^{2}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{3} u^{3}$ です。

$\frac{1}{3} u^{3} + C_{1} = \int 1 + 2 x + x^{2} d x$

ステップ 2.2.3

$u$ のすべての発生を $1 + y$ で置き換えます。

$\frac{1}{3} {(1 + y)}^{3} + C_{1} = \int 1 + 2 x + x^{2} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{1}{3} {(1 + y)}^{3} + C_{1} = \int d x + \int 2 x d x + \int x^{2} d x$

ステップ 2.3.2

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{3} {(1 + y)}^{3} + C_{1} = x + C_{2} + \int 2 x d x + \int x^{2} d x$

ステップ 2.3.3

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{3} {(1 + y)}^{3} + C_{1} = x + C_{2} + 2 \int x d x + \int x^{2} d x$

ステップ 2.3.4

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$\frac{1}{3} {(1 + y)}^{3} + C_{1} = x + C_{2} + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + \int x^{2} d x$

ステップ 2.3.5

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$\frac{1}{3} {(1 + y)}^{3} + C_{1} = x + C_{2} + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + \frac{1}{3} x^{3} + C_{4}$

ステップ 2.3.6

簡約します。

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ステップ 2.3.6.1

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{3} {(1 + y)}^{3} + C_{1} = x + C_{2} + 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{3}) + \frac{1}{3} x^{3} + C_{4}$

ステップ 2.3.6.2

簡約します。

$\frac{1}{3} {(1 + y)}^{3} + C_{1} = x + x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + C_{5}$

ステップ 2.3.7

項を並べ替えます。

$\frac{1}{3} {(1 + y)}^{3} + C_{1} = x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + x + C_{5}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$\frac{1}{3} {(1 + y)}^{3} = x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + x + K$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺に $3$ を掛けます。

$3 (\frac{1}{3} {(1 + y)}^{3}) = 3 (x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + x + K)$

ステップ 3.2

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

$3 (\frac{1}{3} {(1 + y)}^{3})$ を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1.1

$\frac{1}{3}$ と ${(1 + y)}^{3}$ をまとめます。

$3 \frac{{(1 + y)}^{3}}{3} = 3 (x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + x + K)$

ステップ 3.2.1.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$3 \frac{{(1 + y)}^{3}}{3} = 3 (x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + x + K)$

ステップ 3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(1 + y)}^{3} = 3 (x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + x + K)$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$3 (x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + x + K)$ を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1.1

$\frac{1}{3}$ と $x^{3}$ をまとめます。

${(1 + y)}^{3} = 3 (x^{2} + \frac{x^{3}}{3} + x + K)$

ステップ 3.2.2.1.2

分配則を当てはめます。

${(1 + y)}^{3} = 3 x^{2} + 3 \frac{x^{3}}{3} + 3 x + 3 K$

ステップ 3.2.2.1.3

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.1.3.1

共通因数を約分します。

${(1 + y)}^{3} = 3 x^{2} + 3 \frac{x^{3}}{3} + 3 x + 3 K$

ステップ 3.2.2.1.3.2

式を書き換えます。

${(1 + y)}^{3} = 3 x^{2} + x^{3} + 3 x + 3 K$

ステップ 3.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$1 + y = \sqrt[3]{3 x^{2} + x^{3} + 3 x + 3 K}$

ステップ 3.4

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$y = \sqrt[3]{3 x^{2} + x^{3} + 3 x + 3 K} - 1$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$y = \sqrt[3]{3 x^{2} + x^{3} + 3 x + K} - 1$

微分積分 例

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