微分積分例

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{1}{x}$

ステップ 1

$x$ について両辺を積分します。

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ステップ 1.1

一次導関数は、 $x$ について二次導関数の積分に等しいです。

$\frac{d y}{d x} = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 1.2

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$\frac{d y}{d x} = \ln (| x |) + C_{1}$

ステップ 2

方程式を書き換えます。

$d y = (\ln (| x |) + C_{1}) d x$

ステップ 3

両辺を積分します。

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ステップ 3.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int \ln (| x |) + C_{1} d x$

ステップ 3.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{2} = \int \ln (| x |) + C_{1} d x$

ステップ 3.3

右辺を積分します。

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ステップ 3.3.1

単一積分を複数積分に分割します。

$y + C_{2} = \int \ln (| x |) d x + \int C_{1} d x$

ステップ 3.3.2

$u = \ln (| x |)$ と $d v = 1$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$y + C_{2} = \ln (| x |) x - \int x \frac{1}{x} d x + \int C_{1} d x$

ステップ 3.3.3

簡約します。

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ステップ 3.3.3.1

$x$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$y + C_{2} = \ln (| x |) x - \int \frac{x}{x} d x + \int C_{1} d x$

ステップ 3.3.3.2

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.3.2.1

共通因数を約分します。

$y + C_{2} = \ln (| x |) x - \int \frac{x}{x} d x + \int C_{1} d x$

ステップ 3.3.3.2.2

式を書き換えます。

$y + C_{2} = \ln (| x |) x - \int d x + \int C_{1} d x$

ステップ 3.3.4

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{2} = \ln (| x |) x - (x + C_{3}) + \int C_{1} d x$

ステップ 3.3.5

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{2} = \ln (| x |) x - (x + C_{3}) + C_{1} x + C_{4}$

ステップ 3.3.6

簡約します。

$y + C_{2} = \ln (| x |) x - x + C_{1} x + C_{5}$

ステップ 3.3.7

項を並べ替えます。

$y + C_{2} = x \ln (| x |) + C_{1} x - x + C_{5}$

ステップ 3.4

右辺の積分定数を $D$ としてまとめます。

$y = x \ln (| x |) + C x - x + D$

微分積分 例

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