微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 24}{{(2 x + 1)}^{3}}$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$d y = \frac{- 24}{{(2 x + 1)}^{3}} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int \frac{- 24}{{(2 x + 1)}^{3}} d x$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int \frac{- 24}{{(2 x + 1)}^{3}} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$y + C_{1} = \int - \frac{24}{{(2 x + 1)}^{3}} d x$

ステップ 2.3.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = - \int \frac{24}{{(2 x + 1)}^{3}} d x$

ステップ 2.3.3

$24$ は $x$ に対して定数なので、 $24$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = - (24 \int \frac{1}{{(2 x + 1)}^{3}} d x)$

ステップ 2.3.4

$24$ に $- 1$ をかけます。

$y + C_{1} = - 24 \int \frac{1}{{(2 x + 1)}^{3}} d x$

ステップ 2.3.5

$u = 2 x + 1$ とします。次に $d u = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.3.5.1

$u = 2 x + 1$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.3.5.1.1

$2 x + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

ステップ 2.3.5.1.2

総和則では、 $2 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.3.5.1.3

$\frac{d}{d x} [2 x]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.5.1.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.3.5.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.3.5.1.3.3

$2$ に $1$ をかけます。

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.3.5.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 2.3.5.1.4.1

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$2 + 0$

ステップ 2.3.5.1.4.2

$2$ と $0$ をたし算します。

$2$

ステップ 2.3.5.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$y + C_{1} = - 24 \int \frac{1}{u^{3}} \cdot \frac{1}{2} d u$

ステップ 2.3.6

簡約します。

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ステップ 2.3.6.1

$\frac{1}{u^{3}}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$y + C_{1} = - 24 \int \frac{1}{u^{3} \cdot 2} d u$

ステップ 2.3.6.2

$2$ を $u^{3}$ の左に移動させます。

$y + C_{1} = - 24 \int \frac{1}{2 u^{3}} d u$

ステップ 2.3.7

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = - 24 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{3}} d u)$

ステップ 2.3.8

式を簡約します。

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ステップ 2.3.8.1

簡約します。

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ステップ 2.3.8.1.1

$\frac{1}{2}$ と $- 24$ をまとめます。

$y + C_{1} = \frac{- 24}{2} \int \frac{1}{u^{3}} d u$

ステップ 2.3.8.1.2

$- 24$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.8.1.2.1

$2$ を $- 24$ で因数分解します。

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 12}{2} \int \frac{1}{u^{3}} d u$

ステップ 2.3.8.1.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.8.1.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 12}{2 (1)} \int \frac{1}{u^{3}} d u$

ステップ 2.3.8.1.2.2.2

共通因数を約分します。

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u^{3}} d u$

ステップ 2.3.8.1.2.2.3

式を書き換えます。

$y + C_{1} = \frac{- 12}{1} \int \frac{1}{u^{3}} d u$

ステップ 2.3.8.1.2.2.4

$- 12$ を $1$ で割ります。

$y + C_{1} = - 12 \int \frac{1}{u^{3}} d u$

ステップ 2.3.8.2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 2.3.8.2.1

$u^{3}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$y + C_{1} = - 12 \int {(u^{3})}^{- 1} d u$

ステップ 2.3.8.2.2

${(u^{3})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.3.8.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y + C_{1} = - 12 \int u^{3 \cdot - 1} d u$

ステップ 2.3.8.2.2.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$y + C_{1} = - 12 \int u^{- 3} d u$

ステップ 2.3.9

べき乗則では、 $u^{- 3}$ の $u$ に関する積分は $- \frac{1}{2} u^{- 2}$ です。

$y + C_{1} = - 12 (- \frac{1}{2} u^{- 2} + C_{2})$

ステップ 2.3.10

簡約します。

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ステップ 2.3.10.1

簡約します。

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ステップ 2.3.10.1.1

$u^{- 2}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$y + C_{1} = - 12 (- \frac{u^{- 2}}{2} + C_{2})$

ステップ 2.3.10.1.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $u^{- 2}$ を分母に移動させます。

$y + C_{1} = - 12 (- \frac{1}{2 u^{2}} + C_{2})$

ステップ 2.3.10.2

簡約します。

$y + C_{1} = - 12 (- \frac{1}{2 u^{2}}) + C_{2}$

ステップ 2.3.10.3

簡約します。

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ステップ 2.3.10.3.1

$- 1$ に $- 12$ をかけます。

$y + C_{1} = 12 \frac{1}{2 u^{2}} + C_{2}$

ステップ 2.3.10.3.2

$12$ と $\frac{1}{2 u^{2}}$ をまとめます。

$y + C_{1} = \frac{12}{2 u^{2}} + C_{2}$

ステップ 2.3.10.3.3

$12$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.10.3.3.1

$2$ を $12$ で因数分解します。

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 6}{2 u^{2}} + C_{2}$

ステップ 2.3.10.3.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.10.3.3.2.1

$2$ を $2 u^{2}$ で因数分解します。

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 6}{2 (u^{2})} + C_{2}$

ステップ 2.3.10.3.3.2.2

共通因数を約分します。

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 6}{2 u^{2}} + C_{2}$

ステップ 2.3.10.3.3.2.3

式を書き換えます。

$y + C_{1} = \frac{6}{u^{2}} + C_{2}$

ステップ 2.3.11

$u$ のすべての発生を $2 x + 1$ で置き換えます。

$y + C_{1} = \frac{6}{{(2 x + 1)}^{2}} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$y = \frac{6}{{(2 x + 1)}^{2}} + K$

微分積分 例

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