微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \sin (x) \cos^{2} (x)$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$d y = \sin (x) \cos^{2} (x) d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int \sin (x) \cos^{2} (x) d x$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int \sin (x) \cos^{2} (x) d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$u = \cos (x)$ とします。次に $d u = - \sin (x) d x$ すると、 $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.3.1.1

$u = \cos (x)$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.3.1.1.1

$\cos (x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 2.3.1.1.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$- \sin (x)$

ステップ 2.3.1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$y + C_{1} = \int - 1 u^{2} d u$

ステップ 2.3.2

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = - \int u^{2} d u$

ステップ 2.3.3

べき乗則では、 $u^{2}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{3} u^{3}$ です。

$y + C_{1} = - (\frac{1}{3} u^{3} + C_{2})$

ステップ 2.3.4

$- (\frac{1}{3} u^{3} + C_{2})$ を $- \frac{1}{3} u^{3} + C_{2}$ に書き換えます。

$y + C_{1} = - \frac{1}{3} u^{3} + C_{2}$

ステップ 2.3.5

$u$ のすべての発生を $\cos (x)$ で置き換えます。

$y + C_{1} = - \frac{1}{3} \cos^{3} (x) + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$y = - \frac{1}{3} \cos^{3} (x) + K$

微分積分 例