微分積分例

$\frac{d y}{d x} - y = x e^{x}$

ステップ 1

$P (x) = - 1$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

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ステップ 1.1

積分を設定します。

$e^{\int - 1 d x}$

ステップ 1.2

定数の法則を当てはめます。

$e^{- x + C}$

ステップ 1.3

積分定数を削除します。

$e^{- x}$

ステップ 2

各項に積分因数 $e^{- x}$ を掛けます。

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ステップ 2.1

各項に $e^{- x}$ を掛けます。

$e^{- x} \frac{d y}{d x} + e^{- x} (- y) = e^{- x} (x e^{x})$

ステップ 2.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{- x} (x e^{x})$

ステップ 2.3

指数を足して $e^{- x}$ に $e^{x}$ を掛けます。

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ステップ 2.3.1

$e^{x}$ を移動させます。

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{x} e^{- x} x$

ステップ 2.3.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{x - x} x$

ステップ 2.3.3

$x$ から $x$ を引きます。

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{0} x$

ステップ 2.4

$e^{0} x$ を簡約します。

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = x$

ステップ 2.5

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = x$ の因数を並べ替えます。

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - y e^{- x} = x$

ステップ 3

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [e^{- x} y] = x$

ステップ 4

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x} y] d x = \int x d x$

ステップ 5

左辺を積分します。

$e^{- x} y = \int x d x$

ステップ 6

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$e^{- x} y = \frac{1}{2} x^{2} + C$

ステップ 7

$e^{- x} y = \frac{1}{2} x^{2} + C$ の各項を $e^{- x}$ で割り、簡約します。

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ステップ 7.1

$e^{- x} y = \frac{1}{2} x^{2} + C$ の各項を $e^{- x}$ で割ります。

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

ステップ 7.2

左辺を簡約します。

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ステップ 7.2.1

$e^{- x}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

ステップ 7.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

ステップ 7.3

右辺を簡約します。

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ステップ 7.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.3.1.1

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$y = \frac{\frac{x^{2}}{2}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

ステップ 7.3.1.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$y = \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

ステップ 7.3.1.3

まとめる。

$y = \frac{x^{2} \cdot 1}{2 e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

ステップ 7.3.1.4

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{x^{2}}{2 e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

微分積分 例

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