微分積分例

$\frac{d y}{d x} = 3 x^{- 2}$ , $y (1) = 2$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$d y = 3 x^{- 2} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int 3 x^{- 2} d x$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int 3 x^{- 2} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = 3 \int x^{- 2} d x$

ステップ 2.3.2

べき乗則では、 $x^{- 2}$ の $x$ に関する積分は $- x^{- 1}$ です。

$y + C_{1} = 3 (- x^{- 1} + C_{2})$

ステップ 2.3.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1

$3 (- x^{- 1} + C_{2})$ を $3 (- \frac{1}{x}) + C_{2}$ に書き換えます。

$y + C_{1} = 3 (- \frac{1}{x}) + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.2.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$y + C_{1} = - 3 \frac{1}{x} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2.2

$- 3$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$y + C_{1} = \frac{- 3}{x} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$y + C_{1} = - \frac{3}{x} + C_{2}$

$y + C_{1} = - \frac{3}{x} + C_{2}$

$y + C_{1} = - \frac{3}{x} + C_{2}$

$y + C_{1} = - \frac{3}{x} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$y = - \frac{3}{x} + K$

$y = - \frac{3}{x} + K$

ステップ 3

初期条件を利用し、 $y = - \frac{3}{x} + K$ の $1$ を $x$ に、 $2$ を $y$ に代入し $K$ の値を求めます。

$2 = - \frac{3}{1} + K$

ステップ 4

$K$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

方程式を $- \frac{3}{1} + K = 2$ として書き換えます。

$- \frac{3}{1} + K = 2$

ステップ 4.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$3$ を $1$ で割ります。

$- 1 \cdot 3 + K = 2$

ステップ 4.2.2

$- 1$ に $3$ をかけます。

$- 3 + K = 2$

$- 3 + K = 2$

ステップ 4.3

$K$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

方程式の両辺に $3$ を足します。

$K = 2 + 3$

ステップ 4.3.2

$2$ と $3$ をたし算します。

$K = 5$

$K = 5$

$K = 5$

ステップ 5

$5$ を $y = - \frac{3}{x} + K$ の中の $K$ に代入し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$5$ を $K$ に代入します。

$y = - \frac{3}{x} + 5$

$y = - \frac{3}{x} + 5$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$