微分積分例

$\frac{d y}{d x} - \frac{y}{x} = \frac{1}{x}$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

$\frac{d y}{d x}$ について解きます。

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ステップ 1.1.1

方程式の両辺から $\frac{1}{x}$ を引きます。

$\frac{d y}{d x} - \frac{y}{x} - \frac{1}{x} = 0$

ステップ 1.1.2

$\frac{d y}{d x}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 1.1.2.1

方程式の両辺に $\frac{y}{x}$ を足します。

$\frac{d y}{d x} - \frac{1}{x} = \frac{y}{x}$

ステップ 1.1.2.2

方程式の両辺に $\frac{1}{x}$ を足します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{1}{x}$

ステップ 1.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{x}$

ステップ 1.3

両辺に $\frac{1}{y + 1}$ を掛けます。

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} \cdot \frac{y + 1}{x}$

ステップ 1.4

$y + 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} \cdot \frac{y + 1}{x}$

ステップ 1.4.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

ステップ 1.5

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{y + 1} d y = \frac{1}{x} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

$u = y + 1$ とします。次に $d u = d y$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.2.1.1

$u = y + 1$ とします。 $\frac{d u}{d y}$ を求めます。

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ステップ 2.2.1.1.1

$y + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

ステップ 2.2.1.1.2

総和則では、 $y + 1$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ です。

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

ステップ 2.2.1.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

ステップ 2.2.1.1.4

$1$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 2.2.1.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 2.2.1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2.2

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$\ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2.3

$u$ のすべての発生を $y + 1$ で置き換えます。

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.3

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\ln (| y + 1 |) = \ln (| x |) + C$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$\ln (| y + 1 |) - \ln (| x |) = C$

ステップ 3.2

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\ln (\frac{| y + 1 |}{| x |}) = C$

ステップ 3.3

$y$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (\frac{| y + 1 |}{| x |})} = e^{C}$

ステップ 3.4

対数の定義を利用して $\ln (\frac{| y + 1 |}{| x |}) = C$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{C} = \frac{| y + 1 |}{| x |}$

ステップ 3.5

$y$ について解きます。

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ステップ 3.5.1

方程式を $\frac{| y + 1 |}{| x |} = e^{C}$ として書き換えます。

$\frac{| y + 1 |}{| x |} = e^{C}$

ステップ 3.5.2

両辺に $| x |$ を掛けます。

$\frac{| y + 1 |}{| x |} | x | = e^{C} | x |$

ステップ 3.5.3

左辺を簡約します。

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ステップ 3.5.3.1

$| x |$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.3.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{| y + 1 |}{| x |} | x | = e^{C} | x |$

ステップ 3.5.3.1.2

式を書き換えます。

$| y + 1 | = e^{C} | x |$

ステップ 3.5.4

$y$ について解きます。

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ステップ 3.5.4.1

$e^{C} | x |$ の因数を並べ替えます。

$| y + 1 | = | x | e^{C}$

ステップ 3.5.4.2

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$y + 1 = \pm | x | e^{C}$

ステップ 3.5.4.3

$\pm | x | e^{C}$ の因数を並べ替えます。

$y + 1 = \pm e^{C} | x |$

ステップ 3.5.4.4

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$y = \pm e^{C} | x | - 1$

ステップ 4

定数項をまとめます。

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ステップ 4.1

積分定数を簡約します。

$y = \pm C | x | - 1$

ステップ 4.2

定数を正または負でまとめます。

$y = C | x | - 1$

微分積分 例

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