微分積分例

$\frac{d y}{d x} = (1 + 2 x) \sqrt{y}$ , $y (0) = 1$

ステップ 1

変数を分けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

両辺に $\frac{1}{\sqrt{y}}$ を掛けます。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{y}} ((1 + 2 x) \sqrt{y})$

ステップ 1.2

$\sqrt{y}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$\sqrt{y}$ を $(1 + 2 x) \sqrt{y}$ で因数分解します。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{y}} (\sqrt{y} (1 + 2 x))$

ステップ 1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{y}} (\sqrt{y} (1 + 2 x))$

ステップ 1.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 1 + 2 x$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{y}} d y = (1 + 2 x) d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{\sqrt{y}} d y = \int 1 + 2 x d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{y}$ を $y^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y = \int 1 + 2 x d x$

ステップ 2.2.1.2

$y^{\frac{1}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int {(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d y = \int 1 + 2 x d x$

ステップ 2.2.1.3

${(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int y^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d y = \int 1 + 2 x d x$

ステップ 2.2.1.3.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$\int y^{\frac{- 1}{2}} d y = \int 1 + 2 x d x$

ステップ 2.2.1.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$\int y^{- \frac{1}{2}} d y = \int 1 + 2 x d x$

ステップ 2.2.2

べき乗則では、 $y^{- \frac{1}{2}}$ の $y$ に関する積分は $2 y^{\frac{1}{2}}$ です。

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 1 + 2 x d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

単一積分を複数積分に分割します。

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int d x + \int 2 x d x$

ステップ 2.3.2

定数の法則を当てはめます。

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = x + C_{2} + \int 2 x d x$

ステップ 2.3.3

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = x + C_{2} + 2 \int x d x$

ステップ 2.3.4

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = x + C_{2} + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

ステップ 2.3.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.1

簡約します。

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = x + 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

ステップ 2.3.5.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.2.1

$2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = x + \frac{2}{2} x^{2} + C_{4}$

ステップ 2.3.5.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.2.2.1

共通因数を約分します。

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = x + \frac{2}{2} x^{2} + C_{4}$

ステップ 2.3.5.2.2.2

式を書き換えます。

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = x + 1 x^{2} + C_{4}$

ステップ 2.3.5.2.3

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = x + x^{2} + C_{4}$

ステップ 2.3.6

項を並べ替えます。

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = x^{2} + x + C_{4}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$2 y^{\frac{1}{2}} = x^{2} + x + K$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

$2 y^{\frac{1}{2}} = x^{2} + x + K$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.1.1

$2 y^{\frac{1}{2}} = x^{2} + x + K$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2}$

ステップ 3.1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2}$

ステップ 3.1.2.2

$y^{\frac{1}{2}}$ を $1$ で割ります。

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2}$

ステップ 3.2

方程式の両辺を $2$ 乗し、左辺の分数指数を消去します。

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$

ステップ 3.3

指数を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.1

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.1.1

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$

ステップ 3.3.1.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$

ステップ 3.3.1.1.1.2.2

式を書き換えます。

$y^{1} = {(\frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$

ステップ 3.3.1.1.2

簡約します。

$y = {(\frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$

ステップ 3.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

${(\frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1

${(\frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$ を $(\frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2}) (\frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2})$ に書き換えます。

$y = (\frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2}) (\frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2})$

ステップ 3.3.2.1.2

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(\frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2}) (\frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2})$ を展開します。

$y = \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

ステップ 3.3.2.1.3

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.3.1.1

まとめる。

$y = \frac{x^{2} x^{2}}{2 \cdot 2} + \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

ステップ 3.3.2.1.3.1.2

指数を足して $x^{2}$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.3.1.2.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y = \frac{x^{2 + 2}}{2 \cdot 2} + \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

ステップ 3.3.2.1.3.1.2.2

$2$ と $2$ をたし算します。

$y = \frac{x^{4}}{2 \cdot 2} + \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

ステップ 3.3.2.1.3.1.3

$2$ に $2$ をかけます。

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

ステップ 3.3.2.1.3.1.4

まとめる。

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{2} x}{2 \cdot 2} + \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

ステップ 3.3.2.1.3.1.5

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.3.1.5.1

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.3.1.5.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{2} x^{1}}{2 \cdot 2} + \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

ステップ 3.3.2.1.3.1.5.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{2 + 1}}{2 \cdot 2} + \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

ステップ 3.3.2.1.3.1.5.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{2 \cdot 2} + \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

ステップ 3.3.2.1.3.1.6

$2$ に $2$ をかけます。

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

ステップ 3.3.2.1.3.1.7

まとめる。

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{2 \cdot 2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

ステップ 3.3.2.1.3.1.8

$2$ に $2$ をかけます。

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

ステップ 3.3.2.1.3.1.9

まとめる。

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x \cdot x^{2}}{2 \cdot 2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

ステップ 3.3.2.1.3.1.10

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.3.1.10.1

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.3.1.10.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{1} x^{2}}{2 \cdot 2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

ステップ 3.3.2.1.3.1.10.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{1 + 2}}{2 \cdot 2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

ステップ 3.3.2.1.3.1.10.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{3}}{2 \cdot 2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

ステップ 3.3.2.1.3.1.11

$2$ に $2$ をかけます。

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

ステップ 3.3.2.1.3.1.12

$\frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.3.1.12.1

$\frac{x}{2}$ に $\frac{x}{2}$ をかけます。

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x \cdot x}{2 \cdot 2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

ステップ 3.3.2.1.3.1.12.2

$x$ を $1$ 乗します。

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{1} x}{2 \cdot 2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

ステップ 3.3.2.1.3.1.12.3

$x$ を $1$ 乗します。

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{1} x^{1}}{2 \cdot 2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

ステップ 3.3.2.1.3.1.12.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{1 + 1}}{2 \cdot 2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

ステップ 3.3.2.1.3.1.12.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2}}{2 \cdot 2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

ステップ 3.3.2.1.3.1.12.6

$2$ に $2$ をかけます。

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

ステップ 3.3.2.1.3.1.13

$\frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.3.1.13.1

$\frac{x}{2}$ に $\frac{K}{2}$ をかけます。

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{2 \cdot 2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

ステップ 3.3.2.1.3.1.13.2

$2$ に $2$ をかけます。

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

ステップ 3.3.2.1.3.1.14

まとめる。

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x^{2}}{2 \cdot 2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

ステップ 3.3.2.1.3.1.15

$2$ に $2$ をかけます。

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x^{2}}{4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

ステップ 3.3.2.1.3.1.16

$\frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.3.1.16.1

$\frac{K}{2}$ に $\frac{x}{2}$ をかけます。

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x^{2}}{4} + \frac{K x}{2 \cdot 2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

ステップ 3.3.2.1.3.1.16.2

$2$ に $2$ をかけます。

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x^{2}}{4} + \frac{K x}{4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

ステップ 3.3.2.1.3.1.17

$\frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.3.1.17.1

$\frac{K}{2}$ に $\frac{K}{2}$ をかけます。

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x^{2}}{4} + \frac{K x}{4} + \frac{K \cdot K}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.3.2.1.3.1.17.2

$K$ を $1$ 乗します。

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x^{2}}{4} + \frac{K x}{4} + \frac{K^{1} K}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.3.2.1.3.1.17.3

$K$ を $1$ 乗します。

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x^{2}}{4} + \frac{K x}{4} + \frac{K^{1} K^{1}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.3.2.1.3.1.17.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x^{2}}{4} + \frac{K x}{4} + \frac{K^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.3.2.1.3.1.17.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x^{2}}{4} + \frac{K x}{4} + \frac{K^{2}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.3.2.1.3.1.17.6

$2$ に $2$ をかけます。

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2} K}{4} + \frac{x^{3}}{4} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x^{2}}{4} + \frac{K x}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

ステップ 3.3.2.1.3.2

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.3.2.1

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{x^{4} + x^{3} + x^{2} K + x^{3} + x^{2} + x K + K x^{2} + K x + K^{2}}{4}$

ステップ 3.3.2.1.3.2.2

$x^{3}$ と $x^{3}$ をたし算します。

$y = \frac{x^{4} + 2 x^{3} + x^{2} K + x^{2} + x K + K x^{2} + K x + K^{2}}{4}$

ステップ 3.3.2.1.4

$x^{2} K$ と $K x^{2}$ をたし算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.4.1

$x^{2}$ と $K$ を並べ替えます。

$y = \frac{x^{4} + 2 x^{3} + x^{2} + x K + K x^{2} + K x^{2} + K x + K^{2}}{4}$

ステップ 3.3.2.1.4.2

$K x^{2}$ と $K x^{2}$ をたし算します。

$y = \frac{x^{4} + 2 x^{3} + x^{2} + x K + 2 K x^{2} + K x + K^{2}}{4}$

ステップ 3.3.2.1.5

$x K$ と $K x$ をたし算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.5.1

$x$ と $K$ を並べ替えます。

$y = \frac{x^{4} + 2 x^{3} + x^{2} + K x + K x + 2 K x^{2} + K^{2}}{4}$

ステップ 3.3.2.1.5.2

$K x$ と $K x$ をたし算します。

$y = \frac{x^{4} + 2 x^{3} + x^{2} + 2 K x + 2 K x^{2} + K^{2}}{4}$

ステップ 3.3.2.1.6

分数 $\frac{x^{4} + 2 x^{3} + x^{2} + 2 K x + 2 K x^{2} + K^{2}}{4}$ を2つの分数に分割します。

$y = \frac{x^{4} + 2 x^{3} + x^{2} + 2 K x + 2 K x^{2}}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

ステップ 3.3.2.1.7

$x$ を $x^{4} + 2 x^{3} + x^{2} + 2 K x + 2 K x^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.7.1

$x$ を $x^{4}$ で因数分解します。

$y = \frac{x \cdot x^{3} + 2 x^{3} + x^{2} + 2 K x + 2 K x^{2}}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

ステップ 3.3.2.1.7.2

$x$ を $2 x^{3}$ で因数分解します。

$y = \frac{x \cdot x^{3} + x (2 x^{2}) + x^{2} + 2 K x + 2 K x^{2}}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

ステップ 3.3.2.1.7.3

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$y = \frac{x \cdot x^{3} + x (2 x^{2}) + x \cdot x + 2 K x + 2 K x^{2}}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

ステップ 3.3.2.1.7.4

$x$ を $2 K x$ で因数分解します。

$y = \frac{x \cdot x^{3} + x (2 x^{2}) + x \cdot x + x (2 K) + 2 K x^{2}}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

ステップ 3.3.2.1.7.5

$x$ を $2 K x^{2}$ で因数分解します。

$y = \frac{x \cdot x^{3} + x (2 x^{2}) + x \cdot x + x (2 K) + x (2 K x)}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

ステップ 3.3.2.1.7.6

$x$ を $x \cdot x^{3} + x (2 x^{2})$ で因数分解します。

$y = \frac{x (x^{3} + 2 x^{2}) + x \cdot x + x (2 K) + x (2 K x)}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

ステップ 3.3.2.1.7.7

$x$ を $x (x^{3} + 2 x^{2}) + x \cdot x$ で因数分解します。

$y = \frac{x (x^{3} + 2 x^{2} + x) + x (2 K) + x (2 K x)}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

ステップ 3.3.2.1.7.8

$x$ を $x (x^{3} + 2 x^{2} + x) + x (2 K)$ で因数分解します。

$y = \frac{x (x^{3} + 2 x^{2} + x + 2 K) + x (2 K x)}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

ステップ 3.3.2.1.7.9

$x$ を $x (x^{3} + 2 x^{2} + x + 2 K) + x (2 K x)$ で因数分解します。

$y = \frac{x (x^{3} + 2 x^{2} + x + 2 K + 2 K x)}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

ステップ 3.4

$\frac{x (x^{3} + 2 x^{2} + x + 2 K + 2 K x)}{4} + \frac{K^{2}}{4}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$x$ を移動させます。

$y = \frac{x (x^{3} + 2 x^{2} + 2 K + 2 K x + x)}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

ステップ 3.4.2

$2 K$ を移動させます。

$y = \frac{x (x^{3} + 2 x^{2} + 2 K x + 2 K + x)}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

ステップ 3.4.3

$2 x^{2}$ を移動させます。

$y = \frac{x (x^{3} + 2 K x + 2 x^{2} + 2 K + x)}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$y = \frac{x (x^{3} + K x + 2 x^{2} + K + x)}{4} + K$

ステップ 5

初期条件を利用し、 $y = \frac{x (x^{3} + K x + 2 x^{2} + K + x)}{4} + K$ の $0$ を $x$ に、 $1$ を $y$ に代入し $K$ の値を求めます。

$1 = \frac{0 (0^{3} + K \cdot 0 + 2 \cdot 0^{2} + K + 0)}{4} + K$

ステップ 6

$K$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

方程式を $\frac{0 (0^{3} + K \cdot 0 + 2 \cdot 0^{2} + K + 0)}{4} + K = 1$ として書き換えます。

$\frac{0 (0^{3} + K \cdot 0 + 2 \cdot 0^{2} + K + 0)}{4} + K = 1$

ステップ 6.2

$\frac{0 (0^{3} + K \cdot 0 + 2 \cdot 0^{2} + K + 0)}{4} + K$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

$0^{3} + K \cdot 0 + 2 \cdot 0^{2} + K$ と $0$ をたし算します。

$\frac{0 (0^{3} + K \cdot 0 + 2 \cdot 0^{2} + K)}{4} + K = 1$

ステップ 6.2.2

$K \cdot 0$ と $K$ をたし算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$0 \cdot K$ と $K$ を並べ替えます。

$\frac{0 (0^{3} + 2 \cdot 0^{2} + K + 0 \cdot K)}{4} + K = 1$

ステップ 6.2.2.2

$K$ と $0 \cdot K$ をたし算します。

$\frac{0 (0^{3} + 2 \cdot 0^{2} + K)}{4} + K = 1$

ステップ 6.2.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.1

$0$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.1.1

$4$ を $0 (0^{3} + 2 \cdot 0^{2} + K)$ で因数分解します。

$\frac{4 (0 (0^{3} + 2 \cdot 0^{2} + K))}{4} + K = 1$

ステップ 6.2.3.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.3.1.2.1

$4$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{4 (0 (0^{3} + 2 \cdot 0^{2} + K))}{4 (1)} + K = 1$

ステップ 6.2.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{4 (0 (0^{3} + 2 \cdot 0^{2} + K))}{4 \cdot 1} + K = 1$

ステップ 6.2.3.1.2.3

式を書き換えます。

$\frac{0 (0^{3} + 2 \cdot 0^{2} + K)}{1} + K = 1$

ステップ 6.2.3.1.2.4

$0 (0^{3} + 2 \cdot 0^{2} + K)$ を $1$ で割ります。

$0 (0^{3} + 2 \cdot 0^{2} + K) + K = 1$

ステップ 6.2.3.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 (0 + 2 \cdot 0^{2} + K) + K = 1$

ステップ 6.2.3.2.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 (0 + 2 \cdot 0 + K) + K = 1$

ステップ 6.2.3.2.3

$2$ に $0$ をかけます。

$0 (0 + 0 + K) + K = 1$

ステップ 6.2.3.3

$0 + 0 + K$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.3.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$0 (0 + K) + K = 1$

ステップ 6.2.3.3.2

$0$ と $K$ をたし算します。

$0 K + K = 1$

ステップ 6.2.3.4

$0$ に $K$ をかけます。

$0 + K = 1$

ステップ 6.2.4

$0$ と $K$ をたし算します。

$K = 1$

ステップ 7

$1$ を $y = \frac{x (x^{3} + K x + 2 x^{2} + K + x)}{4} + K$ の中の $K$ に代入し簡約します。

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ステップ 7.1

$1$ を $K$ に代入します。

$y = \frac{x (x^{3} + 1 x + 2 x^{2} + K + x)}{4} + K$

ステップ 7.2

$1 x$ と $x$ をたし算します。

$y = \frac{x (x^{3} + 2 x^{2} + K + 2 x)}{4} + K$

ステップ 7.3

$K$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$y = \frac{x (x^{3} + 2 x^{2} + K + 2 x)}{4} + K \cdot \frac{4}{4}$

ステップ 7.4

$K$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$y = \frac{x (x^{3} + 2 x^{2} + K + 2 x)}{4} + \frac{K \cdot 4}{4}$

ステップ 7.5

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{x (x^{3} + 2 x^{2} + K + 2 x) + K \cdot 4}{4}$

ステップ 7.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.6.1

分配則を当てはめます。

$y = \frac{x \cdot x^{3} + x (2 x^{2}) + x K + x (2 x) + K \cdot 4}{4}$

ステップ 7.6.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.6.2.1

指数を足して $x$ に $x^{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.6.2.1.1

$x$ に $x^{3}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.6.2.1.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$y = \frac{x^{1} x^{3} + x (2 x^{2}) + x K + x (2 x) + K \cdot 4}{4}$

ステップ 7.6.2.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y = \frac{x^{1 + 3} + x (2 x^{2}) + x K + x (2 x) + K \cdot 4}{4}$

ステップ 7.6.2.1.2

$1$ と $3$ をたし算します。

$y = \frac{x^{4} + x (2 x^{2}) + x K + x (2 x) + K \cdot 4}{4}$

ステップ 7.6.2.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$y = \frac{x^{4} + 2 x \cdot x^{2} + x K + x (2 x) + K \cdot 4}{4}$

ステップ 7.6.2.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$y = \frac{x^{4} + 2 x \cdot x^{2} + x K + 2 x \cdot x + K \cdot 4}{4}$

ステップ 7.6.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.6.3.1

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.6.3.1.1

$x^{2}$ を移動させます。

$y = \frac{x^{4} + 2 (x^{2} x) + x K + 2 x \cdot x + K \cdot 4}{4}$

ステップ 7.6.3.1.2

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.6.3.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$y = \frac{x^{4} + 2 (x^{2} x^{1}) + x K + 2 x \cdot x + K \cdot 4}{4}$

ステップ 7.6.3.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y = \frac{x^{4} + 2 x^{2 + 1} + x K + 2 x \cdot x + K \cdot 4}{4}$

ステップ 7.6.3.1.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$y = \frac{x^{4} + 2 x^{3} + x K + 2 x \cdot x + K \cdot 4}{4}$

ステップ 7.6.3.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.6.3.2.1

$x$ を移動させます。

$y = \frac{x^{4} + 2 x^{3} + x K + 2 (x \cdot x) + K \cdot 4}{4}$

ステップ 7.6.3.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$y = \frac{x^{4} + 2 x^{3} + x K + 2 x^{2} + K \cdot 4}{4}$

ステップ 7.6.4

$4$ を $K$ の左に移動させます。

$y = \frac{x^{4} + 2 x^{3} + x K + 2 x^{2} + 4 K}{4}$

微分積分 例

微分積分例