微分積分例

$\frac{d^{2} x}{d t^{2}} = e^{2 t}$

ステップ 1

$t$ について両辺を積分します。

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ステップ 1.1

一次導関数は、 $t$ について二次導関数の積分に等しいです。

$\frac{d x}{d t} = \int e^{2 t} d t$

ステップ 1.2

$u_{1} = 2 t$ とします。次に $d u_{1} = 2 d t$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{1} = d t$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.2.1

$u_{1} = 2 t$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d t}$ を求めます。

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ステップ 1.2.1.1

$2 t$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [2 t]$

ステップ 1.2.1.2

$2$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $2 t$ の微分係数は $2 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$2 \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 1.2.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 1.2.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 1.2.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{d x}{d t} = \int e^{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 1.3

$e^{u_{1}}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{d x}{d t} = \int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1}$

ステップ 1.4

$\frac{1}{2}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{d x}{d t} = \frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1}$

ステップ 1.5

$e^{u_{1}}$ の $u_{1}$ に関する積分は $e^{u_{1}}$ です。

$\frac{d x}{d t} = \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{1})$

ステップ 1.6

簡約します。

$\frac{d x}{d t} = \frac{1}{2} e^{u_{1}} + C_{1}$

ステップ 1.7

$u_{1}$ のすべての発生を $2 t$ で置き換えます。

$\frac{d x}{d t} = \frac{1}{2} e^{2 t} + C_{1}$

ステップ 2

方程式を書き換えます。

$d x = (\frac{1}{2} e^{2 t} + C_{1}) d t$

ステップ 3

両辺を積分します。

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ステップ 3.1

各辺の積分を設定します。

$\int d x = \int \frac{1}{2} e^{2 t} + C_{1} d t$

ステップ 3.2

定数の法則を当てはめます。

$x + C_{2} = \int \frac{1}{2} e^{2 t} + C_{1} d t$

ステップ 3.3

右辺を積分します。

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ステップ 3.3.1

単一積分を複数積分に分割します。

$x + C_{2} = \int \frac{1}{2} e^{2 t} d t + \int C_{1} d t$

ステップ 3.3.2

$\frac{1}{2}$ は $t$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$x + C_{2} = \frac{1}{2} \int e^{2 t} d t + \int C_{1} d t$

ステップ 3.3.3

$u_{2} = 2 t$ とします。次に $d u_{2} = 2 d t$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{2} = d t$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 3.3.3.1

$u_{2} = 2 t$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d t}$ を求めます。

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ステップ 3.3.3.1.1

$2 t$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [2 t]$

ステップ 3.3.3.1.2

$2$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $2 t$ の微分係数は $2 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$2 \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 3.3.3.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 3.3.3.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 3.3.3.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$x + C_{2} = \frac{1}{2} \int e^{u_{2}} \frac{1}{2} d u_{2} + \int C_{1} d t$

ステップ 3.3.4

$e^{u_{2}}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$x + C_{2} = \frac{1}{2} \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2} + \int C_{1} d t$

ステップ 3.3.5

$\frac{1}{2}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$x + C_{2} = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}) + \int C_{1} d t$

ステップ 3.3.6

簡約します。

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ステップ 3.3.6.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$x + C_{2} = \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u_{2}} d u_{2} + \int C_{1} d t$

ステップ 3.3.6.2

$2$ に $2$ をかけます。

$x + C_{2} = \frac{1}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2} + \int C_{1} d t$

ステップ 3.3.7

$e^{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $e^{u_{2}}$ です。

$x + C_{2} = \frac{1}{4} (e^{u_{2}} + C_{3}) + \int C_{1} d t$

ステップ 3.3.8

定数の法則を当てはめます。

$x + C_{2} = \frac{1}{4} (e^{u_{2}} + C_{3}) + C_{1} t + C_{4}$

ステップ 3.3.9

簡約します。

$x + C_{2} = \frac{1}{4} e^{u_{2}} + C_{1} t + C_{5}$

ステップ 3.3.10

$u_{2}$ のすべての発生を $2 t$ で置き換えます。

$x + C_{2} = \frac{1}{4} e^{2 t} + C_{1} t + C_{5}$

ステップ 3.4

右辺の積分定数を $D$ としてまとめます。

$x = \frac{1}{4} e^{2 t} + C t + D$

微分積分 例

微分積分例