微分積分例

$\frac{d s}{d t} = \cos (t) - \sin (t)$ , $s (0) = 3$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$d s = (\cos (t) - \sin (t)) d t$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d s = \int \cos (t) - \sin (t) d t$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$s + C_{1} = \int \cos (t) - \sin (t) d t$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

単一積分を複数積分に分割します。

$s + C_{1} = \int \cos (t) d t + \int - \sin (t) d t$

ステップ 2.3.2

$\cos (t)$ の $t$ に関する積分は $\sin (t)$ です。

$s + C_{1} = \sin (t) + C_{2} + \int - \sin (t) d t$

ステップ 2.3.3

$- 1$ は $t$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$s + C_{1} = \sin (t) + C_{2} - \int \sin (t) d t$

ステップ 2.3.4

$\sin (t)$ の $t$ に関する積分は $- \cos (t)$ です。

$s + C_{1} = \sin (t) + C_{2} - (- \cos (t) + C_{3})$

ステップ 2.3.5

簡約します。

$s + C_{1} = \sin (t) + \cos (t) + C_{4}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$s = \sin (t) + \cos (t) + K$

ステップ 3

初期条件を利用し、 $s = \sin (t) + \cos (t) + K$ の $0$ を $t$ に、 $3$ を $s$ に代入し $K$ の値を求めます。

$3 = \sin (0) + \cos (0) + K$

ステップ 4

$K$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式を $\sin (0) + \cos (0) + K = 3$ として書き換えます。

$\sin (0) + \cos (0) + K = 3$

ステップ 4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$\sin (0) + \cos (0) + K$ を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1.1

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$0 + \cos (0) + K = 3$

ステップ 4.2.1.1.2

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$0 + 1 + K = 3$

ステップ 4.2.1.2

$0$ と $1$ をたし算します。

$1 + K = 3$

ステップ 4.3

$K$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 4.3.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$K = 3 - 1$

ステップ 4.3.2

$3$ から $1$ を引きます。

$K = 2$

ステップ 5

$2$ を $s = \sin (t) + \cos (t) + K$ の中の $K$ に代入し簡約します。

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ステップ 5.1

$2$ を $K$ に代入します。

$s = \sin (t) + \cos (t) + 2$

微分積分 例

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