微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{x + x y^{2}}{y}$

ステップ 1

変数を分けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$x$ を $x + x y^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{1} + x y^{2}}{y}$

ステップ 1.1.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 1 + x y^{2}}{y}$

ステップ 1.1.3

$x$ を $x y^{2}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 1 + x (y^{2})}{y}$

ステップ 1.1.4

$x$ を $x \cdot 1 + x (y^{2})$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot (1 + y^{2})}{y}$

ステップ 1.1.5

$x$ に $1 + y^{2}$ をかけます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (1 + y^{2})}{y}$

ステップ 1.2

因数をもう一度まとめます。

$\frac{d y}{d x} = x \frac{1 + y^{2}}{y}$

ステップ 1.3

両辺に $\frac{y}{1 + y^{2}}$ を掛けます。

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 + y^{2}} (x \frac{1 + y^{2}}{y})$

ステップ 1.4

簡約します。

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ステップ 1.4.1

$x$ と $\frac{1 + y^{2}}{y}$ をまとめます。

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 + y^{2}} \cdot \frac{x (1 + y^{2})}{y}$

ステップ 1.4.2

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 + y^{2}} \cdot \frac{x (1 + y^{2})}{y}$

ステップ 1.4.2.2

式を書き換えます。

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} (x (1 + y^{2}))$

ステップ 1.4.3

$1 + y^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.3.1

$1 + y^{2}$ を $x (1 + y^{2})$ で因数分解します。

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} ((1 + y^{2}) x)$

ステップ 1.4.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} ((1 + y^{2}) x)$

ステップ 1.4.3.3

式を書き換えます。

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = x$

ステップ 1.5

方程式を書き換えます。

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = x d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{y}{1 + y^{2}} d y = \int x d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

$u = 1 + y^{2}$ とします。次に $d u = 2 y d y$ すると、 $\frac{1}{2} d u = y d y$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.2.1.1

$u = 1 + y^{2}$ とします。 $\frac{d u}{d y}$ を求めます。

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ステップ 2.2.1.1.1

$1 + y^{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [1 + y^{2}]$

ステップ 2.2.1.1.2

総和則では、 $1 + y^{2}$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ です。

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

ステップ 2.2.1.1.3

$1$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

ステップ 2.2.1.1.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 2 y$

ステップ 2.2.1.1.5

$0$ と $2 y$ をたし算します。

$2 y$

ステップ 2.2.1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int x d x$

ステップ 2.2.2

簡約します。

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ステップ 2.2.2.1

$\frac{1}{u}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int x d x$

ステップ 2.2.2.2

$2$ を $u$ の左に移動させます。

$\int \frac{1}{2 u} d u = \int x d x$

ステップ 2.2.3

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int x d x$

ステップ 2.2.4

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int x d x$

ステップ 2.2.5

簡約します。

$\frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int x d x$

ステップ 2.2.6

$u$ のすべての発生を $1 + y^{2}$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \int x d x$

ステップ 2.3

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺に $2$ を掛けます。

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |)) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

ステップ 3.2

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |))$ を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ と $\ln (| 1 + y^{2} |)$ をまとめます。

$2 \frac{\ln (| 1 + y^{2} |)}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

ステップ 3.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{\ln (| 1 + y^{2} |)}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

ステップ 3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1.1

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C)$

ステップ 3.2.2.1.2

分配則を当てはめます。

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 C$

ステップ 3.2.2.1.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.1.3.1

共通因数を約分します。

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 C$

ステップ 3.2.2.1.3.2

式を書き換えます。

$\ln (| 1 + y^{2} |) = x^{2} + 2 C$

ステップ 3.3

$y$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (| 1 + y^{2} |)} = e^{x^{2} + 2 C}$

ステップ 3.4

対数の定義を利用して $\ln (| 1 + y^{2} |) = x^{2} + 2 C$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{x^{2} + 2 C} = | 1 + y^{2} |$

ステップ 3.5

$y$ について解きます。

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ステップ 3.5.1

方程式を $| 1 + y^{2} | = e^{x^{2} + 2 C}$ として書き換えます。

$| 1 + y^{2} | = e^{x^{2} + 2 C}$

ステップ 3.5.2

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$1 + y^{2} = \pm e^{x^{2} + 2 C}$

ステップ 3.5.3

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$y^{2} = \pm e^{x^{2} + 2 C} - 1$

ステップ 3.5.4

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \pm \sqrt{\pm e^{x^{2} + 2 C} - 1}$

ステップ 4

定数項をまとめます。

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ステップ 4.1

積分定数を簡約します。

$y = \pm \sqrt{\pm e^{x^{2} + C} - 1}$

ステップ 4.2

$e^{x^{2} + C}$ を $e^{x^{2}} e^{C}$ に書き換えます。

$y = \pm \sqrt{\pm e^{x^{2}} e^{C} - 1}$

ステップ 4.3

$e^{x^{2}}$ と $e^{C}$ を並べ替えます。

$y = \pm \sqrt{\pm e^{C} e^{x^{2}} - 1}$

ステップ 4.4

定数を正または負でまとめます。

$y = \pm \sqrt{C e^{x^{2}} - 1}$

微分積分 例

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