微分積分例

$2 \frac{d y}{d x} - \frac{1}{y} = \frac{2 x}{y}$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

$\frac{d y}{d x}$ について解きます。

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ステップ 1.1.1

方程式の両辺から $\frac{2 x}{y}$ を引きます。

$2 \frac{d y}{d x} - \frac{1}{y} - \frac{2 x}{y} = 0$

ステップ 1.1.2

$\frac{d y}{d x}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 1.1.2.1

方程式の両辺に $\frac{1}{y}$ を足します。

$2 \frac{d y}{d x} - \frac{2 x}{y} = \frac{1}{y}$

ステップ 1.1.2.2

方程式の両辺に $\frac{2 x}{y}$ を足します。

$2 \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} + \frac{2 x}{y}$

ステップ 1.1.3

$2 \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} + \frac{2 x}{y}$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.1.3.1

$2 \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} + \frac{2 x}{y}$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 \frac{d y}{d x}}{2} = \frac{\frac{1}{y}}{2} + \frac{\frac{2 x}{y}}{2}$

ステップ 1.1.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.1.3.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 \frac{d y}{d x}}{2} = \frac{\frac{1}{y}}{2} + \frac{\frac{2 x}{y}}{2}$

ステップ 1.1.3.2.1.2

$\frac{d y}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{1}{y}}{2} + \frac{\frac{2 x}{y}}{2}$

ステップ 1.1.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.1.3.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.3.3.1.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{1}{2} + \frac{\frac{2 x}{y}}{2}$

ステップ 1.1.3.3.1.2

$\frac{1}{y}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y \cdot 2} + \frac{\frac{2 x}{y}}{2}$

ステップ 1.1.3.3.1.3

$2$ を $y$ の左に移動させます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 \cdot y} + \frac{\frac{2 x}{y}}{2}$

ステップ 1.1.3.3.1.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y} + \frac{2 x}{y} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 1.1.3.3.1.5

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.3.3.1.5.1

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y} + \frac{2 (x)}{y} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 1.1.3.3.1.5.2

共通因数を約分します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y} + \frac{2 x}{y} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 1.1.3.3.1.5.3

式を書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y} + \frac{x}{y}$

ステップ 1.2

因数分解。

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ステップ 1.2.1

$\frac{x}{y}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y} + \frac{x}{y} \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 1.2.2

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $2 y$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 1.2.2.1

$\frac{x}{y}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y} + \frac{x \cdot 2}{y \cdot 2}$

ステップ 1.2.2.2

$y \cdot 2$ の因数を並べ替えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y} + \frac{x \cdot 2}{2 y}$

ステップ 1.2.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + x \cdot 2}{2 y}$

ステップ 1.2.4

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + 2 x}{2 y}$

ステップ 1.3

両辺に $y$ を掛けます。

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{1 + 2 x}{2 y}$

ステップ 1.4

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.1

$y$ を $2 y$ で因数分解します。

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{1 + 2 x}{y \cdot 2}$

ステップ 1.4.2

共通因数を約分します。

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{1 + 2 x}{y \cdot 2}$

ステップ 1.4.3

式を書き換えます。

$y \frac{d y}{d x} = \frac{1 + 2 x}{2}$

ステップ 1.5

方程式を書き換えます。

$y d y = \frac{1 + 2 x}{2} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int y d y = \int \frac{1 + 2 x}{2} d x$

ステップ 2.2

べき乗則では、 $y$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} y^{2}$ です。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 + 2 x}{2} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int 1 + 2 x d x$

ステップ 2.3.2

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (\int d x + \int 2 x d x)$

ステップ 2.3.3

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (x + C_{2} + \int 2 x d x)$

ステップ 2.3.4

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (x + C_{2} + 2 \int x d x)$

ステップ 2.3.5

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (x + C_{2} + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}))$

ステップ 2.3.6

簡約します。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (x + x^{2}) + C_{4}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{2} (x + x^{2}) + K$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺に $2$ を掛けます。

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{2} (x + x^{2}) + K)$

ステップ 3.2

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

$2 (\frac{1}{2} y^{2})$ を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ と $y^{2}$ をまとめます。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} (x + x^{2}) + K)$

ステップ 3.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} (x + x^{2}) + K)$

ステップ 3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$y^{2} = 2 (\frac{1}{2} (x + x^{2}) + K)$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$2 (\frac{1}{2} (x + x^{2}) + K)$ を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$y^{2} = 2 (\frac{1}{2} x + \frac{1}{2} x^{2} + K)$

ステップ 3.2.2.1.1.2

$\frac{1}{2}$ と $x$ をまとめます。

$y^{2} = 2 (\frac{x}{2} + \frac{1}{2} x^{2} + K)$

ステップ 3.2.2.1.1.3

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$y^{2} = 2 (\frac{x}{2} + \frac{x^{2}}{2} + K)$

ステップ 3.2.2.1.2

分配則を当てはめます。

$y^{2} = 2 \frac{x}{2} + 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 K$

ステップ 3.2.2.1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.3.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.3.1.1

共通因数を約分します。

$y^{2} = 2 \frac{x}{2} + 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 K$

ステップ 3.2.2.1.3.1.2

式を書き換えます。

$y^{2} = x + 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 K$

ステップ 3.2.2.1.3.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.3.2.1

共通因数を約分します。

$y^{2} = x + 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 K$

ステップ 3.2.2.1.3.2.2

式を書き換えます。

$y^{2} = x + x^{2} + 2 K$

ステップ 3.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \pm \sqrt{x + x^{2} + 2 K}$

ステップ 3.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 3.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = \sqrt{x + x^{2} + 2 K}$

ステップ 3.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y = - \sqrt{x + x^{2} + 2 K}$

ステップ 3.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = \sqrt{x + x^{2} + 2 K}$

$y = - \sqrt{x + x^{2} + 2 K}$

$y = \sqrt{x + x^{2} + 2 K}$

$y = - \sqrt{x + x^{2} + 2 K}$

$y = \sqrt{x + x^{2} + 2 K}$

$y = - \sqrt{x + x^{2} + 2 K}$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$y = \sqrt{x + x^{2} + K}$

$y = - \sqrt{x + x^{2} + K}$

微分積分 例

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