微分積分例

$e^{5 x} \frac{d y}{d x} = 7$

ステップ 1

変数を分けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$e^{5 x} \frac{d y}{d x} = 7$ の各項を $e^{5 x}$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$e^{5 x} \frac{d y}{d x} = 7$ の各項を $e^{5 x}$ で割ります。

$\frac{e^{5 x} \frac{d y}{d x}}{e^{5 x}} = \frac{7}{e^{5 x}}$

ステップ 1.1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$e^{5 x}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{5 x} \frac{d y}{d x}}{e^{5 x}} = \frac{7}{e^{5 x}}$

ステップ 1.1.2.1.2

$\frac{d y}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} = \frac{7}{e^{5 x}}$

ステップ 1.2

方程式を書き換えます。

$d y = \frac{7}{e^{5 x}} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int \frac{7}{e^{5 x}} d x$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int \frac{7}{e^{5 x}} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $7$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = 7 \int \frac{1}{e^{5 x}} d x$

ステップ 2.3.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

$e^{5 x}$ の指数を否定し、分母の外に移動させます。

$y + C_{1} = 7 \int 1 {(e^{5 x})}^{- 1} d x$

ステップ 2.3.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.2.1

${(e^{5 x})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y + C_{1} = 7 \int 1 e^{5 x \cdot - 1} d x$

ステップ 2.3.2.2.1.2

$- 1$ に $5$ をかけます。

$y + C_{1} = 7 \int 1 e^{- 5 x} d x$

ステップ 2.3.2.2.2

$e^{- 5 x}$ に $1$ をかけます。

$y + C_{1} = 7 \int e^{- 5 x} d x$

ステップ 2.3.3

$u = - 5 x$ とします。次に $d u = - 5 d x$ すると、 $- \frac{1}{5} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1

$u = - 5 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1.1

$- 5 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [- 5 x]$

ステップ 2.3.3.1.2

$- 5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 5 x$ の微分係数は $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 5 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.3.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 5 \cdot 1$

ステップ 2.3.3.1.4

$- 5$ に $1$ をかけます。

$- 5$

ステップ 2.3.3.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$y + C_{1} = 7 \int e^{u} \frac{1}{- 5} d u$

ステップ 2.3.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.4.1

分数の前に負数を移動させます。

$y + C_{1} = 7 \int e^{u} (- \frac{1}{5}) d u$

ステップ 2.3.4.2

$e^{u}$ と $\frac{1}{5}$ をまとめます。

$y + C_{1} = 7 \int - \frac{e^{u}}{5} d u$

ステップ 2.3.5

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = 7 (- \int \frac{e^{u}}{5} d u)$

ステップ 2.3.6

$- 1$ に $7$ をかけます。

$y + C_{1} = - 7 \int \frac{e^{u}}{5} d u$

ステップ 2.3.7

$\frac{1}{5}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{5}$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = - 7 (\frac{1}{5} \int e^{u} d u)$

ステップ 2.3.8

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.8.1

$\frac{1}{5}$ と $- 7$ をまとめます。

$y + C_{1} = \frac{- 7}{5} \int e^{u} d u$

ステップ 2.3.8.2

分数の前に負数を移動させます。

$y + C_{1} = - \frac{7}{5} \int e^{u} d u$

ステップ 2.3.9

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$y + C_{1} = - \frac{7}{5} (e^{u} + C_{2})$

ステップ 2.3.10

簡約します。

$y + C_{1} = - \frac{7}{5} e^{u} + C_{2}$

ステップ 2.3.11

$u$ のすべての発生を $- 5 x$ で置き換えます。

$y + C_{1} = - \frac{7}{5} e^{- 5 x} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$y = - \frac{7}{5} e^{- 5 x} + K$

微分積分 例

微分積分例