微分積分例

$\frac{d y}{d x} = 2 x - 2 y$

ステップ 1

方程式の両辺に $2 y$ を足します。

$\frac{d y}{d x} + 2 y = 2 x$

ステップ 2

$P (x) = 2$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

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ステップ 2.1

積分を設定します。

$e^{\int 2 d x}$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$e^{2 x + C}$

ステップ 2.3

積分定数を削除します。

$e^{2 x}$

ステップ 3

各項に積分因数 $e^{2 x}$ を掛けます。

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ステップ 3.1

各項に $e^{2 x}$ を掛けます。

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + e^{2 x} (2 y) = e^{2 x} (2 x)$

ステップ 3.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{2 x} (2 x)$

ステップ 3.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = 2 e^{2 x} x$

ステップ 3.4

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = 2 e^{2 x} x$ の因数を並べ替えます。

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 y e^{2 x} = 2 x e^{2 x}$

ステップ 4

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} y] = 2 x e^{2 x}$

ステップ 5

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [e^{2 x} y] d x = \int 2 x e^{2 x} d x$

ステップ 6

左辺を積分します。

$e^{2 x} y = \int 2 x e^{2 x} d x$

ステップ 7

右辺を積分します。

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ステップ 7.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$e^{2 x} y = 2 \int x e^{2 x} d x$

ステップ 7.2

$u = x$ と $d v = e^{2 x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$e^{2 x} y = 2 (x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

ステップ 7.3

簡約します。

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ステップ 7.3.1

$\frac{1}{2}$ と $e^{2 x}$ をまとめます。

$e^{2 x} y = 2 (x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

ステップ 7.3.2

$x$ と $\frac{e^{2 x}}{2}$ をまとめます。

$e^{2 x} y = 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

ステップ 7.3.3

$\frac{1}{2}$ と $e^{2 x}$ をまとめます。

$e^{2 x} y = 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} d x)$

ステップ 7.4

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$e^{2 x} y = 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x))$

ステップ 7.5

$u = 2 x$ とします。次に $d u = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 7.5.1

$u = 2 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 7.5.1.1

$2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 7.5.1.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 7.5.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 7.5.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 7.5.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$e^{2 x} y = 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{2} d u)$

ステップ 7.6

$e^{u}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$e^{2 x} y = 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u}}{2} d u)$

ステップ 7.7

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$e^{2 x} y = 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u} d u))$

ステップ 7.8

簡約します。

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ステップ 7.8.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$e^{2 x} y = 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

ステップ 7.8.2

$2$ に $2$ をかけます。

$e^{2 x} y = 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u)$

ステップ 7.9

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$e^{2 x} y = 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$

ステップ 7.10

$2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$ を $2 (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$ に書き換えます。

$e^{2 x} y = 2 (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

ステップ 7.11

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$e^{2 x} y = 2 (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x}) + C$

ステップ 7.12

簡約します。

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ステップ 7.12.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.12.1.1

$\frac{1}{2}$ と $x$ をまとめます。

$e^{2 x} y = 2 (\frac{x}{2} e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x}) + C$

ステップ 7.12.1.2

$\frac{x}{2}$ と $e^{2 x}$ をまとめます。

$e^{2 x} y = 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} e^{2 x}) + C$

ステップ 7.12.1.3

$e^{2 x}$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$e^{2 x} y = 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

ステップ 7.12.2

分配則を当てはめます。

$e^{2 x} y = 2 \frac{x e^{2 x}}{2} + 2 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

ステップ 7.12.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.12.3.1

共通因数を約分します。

$e^{2 x} y = 2 \frac{x e^{2 x}}{2} + 2 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

ステップ 7.12.3.2

式を書き換えます。

$e^{2 x} y = x e^{2 x} + 2 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

ステップ 7.12.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.12.4.1

$- \frac{e^{2 x}}{4}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$e^{2 x} y = x e^{2 x} + 2 \frac{- e^{2 x}}{4} + C$

ステップ 7.12.4.2

$2$ を $4$ で因数分解します。

$e^{2 x} y = x e^{2 x} + 2 \frac{- e^{2 x}}{2 (2)} + C$

ステップ 7.12.4.3

共通因数を約分します。

$e^{2 x} y = x e^{2 x} + 2 \frac{- e^{2 x}}{2 \cdot 2} + C$

ステップ 7.12.4.4

式を書き換えます。

$e^{2 x} y = x e^{2 x} + \frac{- e^{2 x}}{2} + C$

ステップ 7.12.5

分数の前に負数を移動させます。

$e^{2 x} y = x e^{2 x} - \frac{e^{2 x}}{2} + C$

ステップ 7.12.6

$x e^{2 x}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$e^{2 x} y = x e^{2 x} \cdot \frac{2}{2} - \frac{e^{2 x}}{2} + C$

ステップ 7.12.7

$x e^{2 x}$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x} \cdot 2}{2} - \frac{e^{2 x}}{2} + C$

ステップ 7.12.8

公分母の分子をまとめます。

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x} \cdot 2 - e^{2 x}}{2} + C$

ステップ 7.12.9

分子を簡約します。

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ステップ 7.12.9.1

$2$ を $x e^{2 x}$ の左に移動させます。

$e^{2 x} y = \frac{2 \cdot (x e^{2 x}) - e^{2 x}}{2} + C$

ステップ 7.12.9.2

$e^{2 x}$ を $2 x e^{2 x} - e^{2 x}$ で因数分解します。

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ステップ 7.12.9.2.1

$e^{2 x}$ を $2 x e^{2 x}$ で因数分解します。

$e^{2 x} y = \frac{e^{2 x} (2 x) - e^{2 x}}{2} + C$

ステップ 7.12.9.2.2

$e^{2 x}$ を $- e^{2 x}$ で因数分解します。

$e^{2 x} y = \frac{e^{2 x} (2 x) + e^{2 x} \cdot - 1}{2} + C$

ステップ 7.12.9.2.3

$e^{2 x}$ を $e^{2 x} (2 x) + e^{2 x} \cdot - 1$ で因数分解します。

$e^{2 x} y = \frac{e^{2 x} (2 x - 1)}{2} + C$

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x - 1) + C$

ステップ 8

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} \cdot (e^{2 x} (2 x - 1)) + C$ の各項を $e^{2 x}$ で割り、簡約します。

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ステップ 8.1

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} \cdot (e^{2 x} (2 x - 1)) + C$ の各項を $e^{2 x}$ で割ります。

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot (e^{2 x} (2 x - 1))}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

ステップ 8.2

左辺を簡約します。

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ステップ 8.2.1

$e^{2 x}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot (e^{2 x} (2 x - 1))}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

ステップ 8.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\frac{1}{2} \cdot (e^{2 x} (2 x - 1))}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

ステップ 8.3

右辺を簡約します。

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ステップ 8.3.1

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{\frac{1}{2} \cdot (e^{2 x} (2 x - 1)) + C}{e^{2 x}}$

ステップ 8.3.2

各項を簡約します。

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ステップ 8.3.2.1

分配則を当てはめます。

$y = \frac{\frac{1}{2} \cdot (e^{2 x} (2 x) + e^{2 x} \cdot - 1) + C}{e^{2 x}}$

ステップ 8.3.2.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$y = \frac{\frac{1}{2} \cdot (2 e^{2 x} x + e^{2 x} \cdot - 1) + C}{e^{2 x}}$

ステップ 8.3.2.3

$- 1$ を $e^{2 x}$ の左に移動させます。

$y = \frac{\frac{1}{2} \cdot (2 e^{2 x} x - 1 \cdot e^{2 x}) + C}{e^{2 x}}$

ステップ 8.3.2.4

$- 1 e^{2 x}$ を $- e^{2 x}$ に書き換えます。

$y = \frac{\frac{1}{2} \cdot (2 e^{2 x} x - e^{2 x}) + C}{e^{2 x}}$

ステップ 8.3.2.5

分配則を当てはめます。

$y = \frac{\frac{1}{2} (2 e^{2 x} x) + \frac{1}{2} (- e^{2 x}) + C}{e^{2 x}}$

ステップ 8.3.2.6

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.3.2.6.1

$2$ を $2 e^{2 x} x$ で因数分解します。

$y = \frac{\frac{1}{2} (2 (e^{2 x} x)) + \frac{1}{2} (- e^{2 x}) + C}{e^{2 x}}$

ステップ 8.3.2.6.2

共通因数を約分します。

$y = \frac{\frac{1}{2} (2 (e^{2 x} x)) + \frac{1}{2} (- e^{2 x}) + C}{e^{2 x}}$

ステップ 8.3.2.6.3

式を書き換えます。

$y = \frac{e^{2 x} x + \frac{1}{2} (- e^{2 x}) + C}{e^{2 x}}$

ステップ 8.3.2.7

$\frac{1}{2}$ と $e^{2 x}$ をまとめます。

$y = \frac{e^{2 x} x - \frac{e^{2 x}}{2} + C}{e^{2 x}}$

ステップ 8.3.2.8

公分母を利用して $e^{2 x} x$ と $- \frac{e^{2 x}}{2}$ を組み合わせます。

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ステップ 8.3.2.8.1

$e^{2 x}$ と $x$ を並べ替えます。

$y = \frac{x e^{2 x} - \frac{e^{2 x}}{2} + C}{e^{2 x}}$

ステップ 8.3.2.8.2

$x e^{2 x}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$y = \frac{x e^{2 x} \cdot \frac{2}{2} - \frac{e^{2 x}}{2} + C}{e^{2 x}}$

ステップ 8.3.2.8.3

$x e^{2 x}$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$y = \frac{\frac{x e^{2 x} \cdot 2}{2} - \frac{e^{2 x}}{2} + C}{e^{2 x}}$

ステップ 8.3.2.8.4

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{\frac{x e^{2 x} \cdot 2 - e^{2 x}}{2} + C}{e^{2 x}}$

ステップ 8.3.2.9

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.2.9.1

$2$ を $x e^{2 x}$ の左に移動させます。

$y = \frac{\frac{2 \cdot (x e^{2 x}) - e^{2 x}}{2} + C}{e^{2 x}}$

ステップ 8.3.2.9.2

$e^{2 x}$ を $2 x e^{2 x} - e^{2 x}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.2.9.2.1

$e^{2 x}$ を $2 x e^{2 x}$ で因数分解します。

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x) - e^{2 x}}{2} + C}{e^{2 x}}$

ステップ 8.3.2.9.2.2

$e^{2 x}$ を $- e^{2 x}$ で因数分解します。

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x) + e^{2 x} \cdot - 1}{2} + C}{e^{2 x}}$

ステップ 8.3.2.9.2.3

$e^{2 x}$ を $e^{2 x} (2 x) + e^{2 x} \cdot - 1$ で因数分解します。

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x - 1)}{2} + C}{e^{2 x}}$

ステップ 8.3.3

$C$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x - 1)}{2} + C \cdot \frac{2}{2}}{e^{2 x}}$

ステップ 8.3.4

項を簡約します。

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ステップ 8.3.4.1

$C$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x - 1)}{2} + \frac{C \cdot 2}{2}}{e^{2 x}}$

ステップ 8.3.4.2

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x - 1) + C \cdot 2}{2}}{e^{2 x}}$

ステップ 8.3.5

分子を簡約します。

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ステップ 8.3.5.1

分配則を当てはめます。

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x) + e^{2 x} \cdot - 1 + C \cdot 2}{2}}{e^{2 x}}$

ステップ 8.3.5.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$y = \frac{\frac{2 e^{2 x} x + e^{2 x} \cdot - 1 + C \cdot 2}{2}}{e^{2 x}}$

ステップ 8.3.5.3

$- 1$ を $e^{2 x}$ の左に移動させます。

$y = \frac{\frac{2 e^{2 x} x - 1 \cdot e^{2 x} + C \cdot 2}{2}}{e^{2 x}}$

ステップ 8.3.5.4

$- 1 e^{2 x}$ を $- e^{2 x}$ に書き換えます。

$y = \frac{\frac{2 e^{2 x} x - e^{2 x} + C \cdot 2}{2}}{e^{2 x}}$

ステップ 8.3.5.5

$2$ を $C$ の左に移動させます。

$y = \frac{\frac{2 e^{2 x} x - e^{2 x} + 2 C}{2}}{e^{2 x}}$

ステップ 8.3.6

$\frac{2 e^{2 x} x - e^{2 x} + 2 C}{2}$ の因数を並べ替えます。

$y = \frac{\frac{2 x e^{2 x} - e^{2 x} + 2 C}{2}}{e^{2 x}}$

ステップ 8.3.7

分子に分母の逆数を掛けます。

$y = \frac{2 x e^{2 x} - e^{2 x} + 2 C}{2} \cdot \frac{1}{e^{2 x}}$

ステップ 8.3.8

$\frac{2 x e^{2 x} - e^{2 x} + 2 C}{2}$ に $\frac{1}{e^{2 x}}$ をかけます。

$y = \frac{2 x e^{2 x} - e^{2 x} + 2 C}{2 e^{2 x}}$

微分積分 例

微分積分例