微分積分例

$\frac{d y}{d x} = (y - 1) \sin (4 x)$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

両辺に $\frac{1}{y - 1}$ を掛けます。

$\frac{1}{y - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y - 1} ((y - 1) \sin (4 x))$

ステップ 1.2

$y - 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.1

$y - 1$ を $(y - 1) \sin (4 x)$ で因数分解します。

$\frac{1}{y - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y - 1} ((y - 1) (\sin (4 x)))$

ステップ 1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{y - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y - 1} ((y - 1) \sin (4 x))$

ステップ 1.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{y - 1} \frac{d y}{d x} = \sin (4 x)$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{y - 1} d y = \sin (4 x) d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{y - 1} d y = \int \sin (4 x) d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

$u_{1} = y - 1$ とします。次に $d u_{1} = d y$ 。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.2.1.1

$u_{1} = y - 1$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d y}$ を求めます。

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ステップ 2.2.1.1.1

$y - 1$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [y - 1]$

ステップ 2.2.1.1.2

総和則では、 $y - 1$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ です。

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

ステップ 2.2.1.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

ステップ 2.2.1.1.4

$- 1$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 2.2.1.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 2.2.1.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \sin (4 x) d x$

ステップ 2.2.2

$\frac{1}{u_{1}}$ の $u_{1}$ に関する積分は $\ln (| u_{1} |)$ です。

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \sin (4 x) d x$

ステップ 2.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $y - 1$ で置き換えます。

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = \int \sin (4 x) d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$u_{2} = 4 x$ とします。次に $d u_{2} = 4 d x$ すると、 $\frac{1}{4} d u_{2} = d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.3.1.1

$u_{2} = 4 x$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.3.1.1.1

$4 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [4 x]$

ステップ 2.3.1.1.2

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.1.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 \cdot 1$

ステップ 2.3.1.1.4

$4$ に $1$ をかけます。

$4$

ステップ 2.3.1.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = \int \sin (u_{2}) \frac{1}{4} d u_{2}$

ステップ 2.3.2

$\sin (u_{2})$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = \int \frac{\sin (u_{2})}{4} d u_{2}$

ステップ 2.3.3

$\frac{1}{4}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = \frac{1}{4} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

ステップ 2.3.4

$\sin (u_{2})$ の $u_{2}$ に関する積分は $- \cos (u_{2})$ です。

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = \frac{1}{4} (- \cos (u_{2}) + C_{2})$

ステップ 2.3.5

簡約します。

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ステップ 2.3.5.1

簡約します。

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = \frac{1}{4} (- \cos (u_{2})) + C_{2}$

ステップ 2.3.5.2

$\frac{1}{4}$ と $\cos (u_{2})$ をまとめます。

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - \frac{\cos (u_{2})}{4} + C_{2}$

ステップ 2.3.6

$u_{2}$ のすべての発生を $4 x$ で置き換えます。

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - \frac{\cos (4 x)}{4} + C_{2}$

ステップ 2.3.7

項を並べ替えます。

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - \frac{1}{4} \cos (4 x) + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\ln (| y - 1 |) = - \frac{1}{4} \cos (4 x) + C$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

$y$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (| y - 1 |)} = e^{- \frac{1}{4} \cos (4 x) + C}$

ステップ 3.2

対数の定義を利用して $\ln (| y - 1 |) = - \frac{1}{4} \cos (4 x) + C$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{- \frac{1}{4} \cos (4 x) + C} = | y - 1 |$

ステップ 3.3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.3.1

方程式を $| y - 1 | = e^{- \frac{1}{4} \cdot \cos (4 x) + C}$ として書き換えます。

$| y - 1 | = e^{- \frac{1}{4} \cdot \cos (4 x) + C}$

ステップ 3.3.2

$\cos (4 x)$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$| y - 1 | = e^{- \frac{\cos (4 x)}{4} + C}$

ステップ 3.3.3

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$y - 1 = \pm e^{- \frac{\cos (4 x)}{4} + C}$

ステップ 3.3.4

方程式の両辺に $1$ を足します。

$y = \pm e^{- \frac{\cos (4 x)}{4} + C} + 1$

ステップ 4

定数項をまとめます。

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ステップ 4.1

$e^{- \frac{\cos (4 x)}{4} + C}$ を $e^{- \frac{\cos (4 x)}{4}} e^{C}$ に書き換えます。

$y = \pm e^{- \frac{\cos (4 x)}{4}} e^{C} + 1$

ステップ 4.2

$e^{- \frac{\cos (4 x)}{4}}$ と $e^{C}$ を並べ替えます。

$y = \pm e^{C} e^{- \frac{\cos (4 x)}{4}} + 1$

ステップ 4.3

定数を正または負でまとめます。

$y = C e^{- \frac{\cos (4 x)}{4}} + 1$

微分積分 例

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