微分積分例

$\frac{d y}{d x} = x - 2 y + 1$

ステップ 1

方程式の両辺に $2 y$ を足します。

$\frac{d y}{d x} + 2 y = x + 1$

ステップ 2

$P (x) = 2$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

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ステップ 2.1

積分を設定します。

$e^{\int 2 d x}$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$e^{2 x + C}$

ステップ 2.3

積分定数を削除します。

$e^{2 x}$

ステップ 3

各項に積分因数 $e^{2 x}$ を掛けます。

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ステップ 3.1

各項に $e^{2 x}$ を掛けます。

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + e^{2 x} (2 y) = e^{2 x} x + e^{2 x} \cdot 1$

ステップ 3.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{2 x} x + e^{2 x} \cdot 1$

ステップ 3.3

$e^{2 x}$ に $1$ をかけます。

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{2 x} x + e^{2 x}$

ステップ 3.4

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{2 x} x + e^{2 x}$ の因数を並べ替えます。

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 y e^{2 x} = x e^{2 x} + e^{2 x}$

ステップ 4

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} y] = x e^{2 x} + e^{2 x}$

ステップ 5

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [e^{2 x} y] d x = \int x e^{2 x} + e^{2 x} d x$

ステップ 6

左辺を積分します。

$e^{2 x} y = \int x e^{2 x} + e^{2 x} d x$

ステップ 7

右辺を積分します。

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ステップ 7.1

単一積分を複数積分に分割します。

$e^{2 x} y = \int x e^{2 x} d x + \int e^{2 x} d x$

ステップ 7.2

$u = x$ と $d v = e^{2 x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$e^{2 x} y = x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x + \int e^{2 x} d x$

ステップ 7.3

簡約します。

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ステップ 7.3.1

$\frac{1}{2}$ と $e^{2 x}$ をまとめます。

$e^{2 x} y = x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x + \int e^{2 x} d x$

ステップ 7.3.2

$x$ と $\frac{e^{2 x}}{2}$ をまとめます。

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x + \int e^{2 x} d x$

ステップ 7.4

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x) + \int e^{2 x} d x$

ステップ 7.5

$u_{1} = 2 x$ とします。次に $d u_{1} = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 7.5.1

$u_{1} = 2 x$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.1.1

$2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 7.5.1.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 7.5.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 7.5.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 7.5.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1} + \int e^{2 x} d x$

ステップ 7.6

$e^{u_{1}}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} + \int e^{2 x} d x$

ステップ 7.7

$\frac{1}{2}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int e^{2 x} d x$

ステップ 7.8

簡約します。

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ステップ 7.8.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int e^{2 x} d x$

ステップ 7.8.2

$2$ に $2$ をかけます。

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int e^{2 x} d x$

ステップ 7.9

$e^{u_{1}}$ の $u_{1}$ に関する積分は $e^{u_{1}}$ です。

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C) + \int e^{2 x} d x$

ステップ 7.10

$u_{2} = 2 x$ とします。次に $d u_{2} = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 7.10.1

$u_{2} = 2 x$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 7.10.1.1

$2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 7.10.1.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 7.10.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 7.10.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 7.10.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C) + \int e^{u_{2}} \frac{1}{2} d u_{2}$

ステップ 7.11

$e^{u_{2}}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C) + \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

ステップ 7.12

$\frac{1}{2}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C) + \frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 7.13

$e^{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $e^{u_{2}}$ です。

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C) + \frac{1}{2} (e^{u_{2}} + C)$

ステップ 7.14

簡約します。

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u_{1}} + \frac{1}{2} e^{u_{2}} + C$

ステップ 7.15

各積分に置換変数を戻し入れます。

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ステップ 7.15.1

$u_{1}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + \frac{1}{2} e^{u_{2}} + C$

ステップ 7.15.2

$u_{2}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + \frac{1}{2} e^{2 x} + C$

ステップ 8

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + \frac{1}{2} e^{2 x} + C$ の各項を $e^{2 x}$ で割り、簡約します。

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ステップ 8.1

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + \frac{1}{2} e^{2 x} + C$ の各項を $e^{2 x}$ で割ります。

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{\frac{1}{2} x e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{1}{4} e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{\frac{1}{2} e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

ステップ 8.2

左辺を簡約します。

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ステップ 8.2.1

$e^{2 x}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{\frac{1}{2} x e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{1}{4} e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{\frac{1}{2} e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

ステップ 8.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\frac{1}{2} x e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{1}{4} e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{\frac{1}{2} e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

ステップ 8.3

右辺を簡約します。

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ステップ 8.3.1

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + \frac{1}{2} e^{2 x} + C}{e^{2 x}}$

ステップ 8.3.2

各項を簡約します。

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ステップ 8.3.2.1

$\frac{1}{2}$ と $x$ をまとめます。

$y = \frac{\frac{x}{2} e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + \frac{1}{2} e^{2 x} + C}{e^{2 x}}$

ステップ 8.3.2.2

$\frac{x}{2}$ と $e^{2 x}$ をまとめます。

$y = \frac{\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} e^{2 x} + \frac{1}{2} e^{2 x} + C}{e^{2 x}}$

ステップ 8.3.2.3

$e^{2 x}$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$y = \frac{\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{4} + \frac{1}{2} e^{2 x} + C}{e^{2 x}}$

ステップ 8.3.2.4

$\frac{1}{2}$ と $e^{2 x}$ をまとめます。

$y = \frac{\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{4} + \frac{e^{2 x}}{2} + C}{e^{2 x}}$

ステップ 8.3.3

$\frac{e^{2 x}}{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$y = \frac{\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{4} + \frac{e^{2 x}}{2} \cdot \frac{2}{2} + C}{e^{2 x}}$

ステップ 8.3.4

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $4$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 8.3.4.1

$\frac{e^{2 x}}{2}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$y = \frac{\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{4} + \frac{e^{2 x} \cdot 2}{2 \cdot 2} + C}{e^{2 x}}$

ステップ 8.3.4.2

$2$ に $2$ をかけます。

$y = \frac{\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{4} + \frac{e^{2 x} \cdot 2}{4} + C}{e^{2 x}}$

ステップ 8.3.5

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{\frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{- e^{2 x} + e^{2 x} \cdot 2}{4} + C}{e^{2 x}}$

ステップ 8.3.6

$- e^{2 x}$ と $e^{2 x} \cdot 2$ をたし算します。

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ステップ 8.3.6.1

$e^{2 x}$ と $2$ を並べ替えます。

$y = \frac{\frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{- e^{2 x} + 2 \cdot e^{2 x}}{4} + C}{e^{2 x}}$

ステップ 8.3.6.2

$- e^{2 x}$ と $2 \cdot e^{2 x}$ をたし算します。

$y = \frac{\frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{2 x}}{4} + C}{e^{2 x}}$

ステップ 8.3.7

分子を簡約します。

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ステップ 8.3.7.1

$\frac{x e^{2 x}}{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$y = \frac{\frac{x e^{2 x}}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{e^{2 x}}{4} + C}{e^{2 x}}$

ステップ 8.3.7.2

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $4$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 8.3.7.2.1

$\frac{x e^{2 x}}{2}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$y = \frac{\frac{x e^{2 x} \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{e^{2 x}}{4} + C}{e^{2 x}}$

ステップ 8.3.7.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$y = \frac{\frac{x e^{2 x} \cdot 2}{4} + \frac{e^{2 x}}{4} + C}{e^{2 x}}$

ステップ 8.3.7.3

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{\frac{x e^{2 x} \cdot 2 + e^{2 x}}{4} + C}{e^{2 x}}$

ステップ 8.3.7.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.7.4.1

$e^{2 x}$ を $x e^{2 x} \cdot 2 + e^{2 x}$ で因数分解します。

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ステップ 8.3.7.4.1.1

$e^{2 x}$ を $x e^{2 x} \cdot 2$ で因数分解します。

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (x \cdot 2) + e^{2 x}}{4} + C}{e^{2 x}}$

ステップ 8.3.7.4.1.2

$1$ を掛けます。

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (x \cdot 2) + e^{2 x} \cdot 1}{4} + C}{e^{2 x}}$

ステップ 8.3.7.4.1.3

$e^{2 x}$ を $e^{2 x} (x \cdot 2) + e^{2 x} \cdot 1$ で因数分解します。

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (x \cdot 2 + 1)}{4} + C}{e^{2 x}}$

ステップ 8.3.7.4.2

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x + 1)}{4} + C}{e^{2 x}}$

ステップ 8.3.7.5

$C$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x + 1)}{4} + C \cdot \frac{4}{4}}{e^{2 x}}$

ステップ 8.3.7.6

$C$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x + 1)}{4} + \frac{C \cdot 4}{4}}{e^{2 x}}$

ステップ 8.3.7.7

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x + 1) + C \cdot 4}{4}}{e^{2 x}}$

ステップ 8.3.7.8

分子を簡約します。

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ステップ 8.3.7.8.1

分配則を当てはめます。

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x) + e^{2 x} \cdot 1 + C \cdot 4}{4}}{e^{2 x}}$

ステップ 8.3.7.8.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$y = \frac{\frac{2 e^{2 x} x + e^{2 x} \cdot 1 + C \cdot 4}{4}}{e^{2 x}}$

ステップ 8.3.7.8.3

$e^{2 x}$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{\frac{2 e^{2 x} x + e^{2 x} + C \cdot 4}{4}}{e^{2 x}}$

ステップ 8.3.7.8.4

$4$ を $C$ の左に移動させます。

$y = \frac{\frac{2 e^{2 x} x + e^{2 x} + 4 C}{4}}{e^{2 x}}$

ステップ 8.3.8

分子に分母の逆数を掛けます。

$y = \frac{2 e^{2 x} x + e^{2 x} + 4 C}{4} \cdot \frac{1}{e^{2 x}}$

ステップ 8.3.9

$\frac{2 e^{2 x} x + e^{2 x} + 4 C}{4}$ に $\frac{1}{e^{2 x}}$ をかけます。

$y = \frac{2 e^{2 x} x + e^{2 x} + 4 C}{4 e^{2 x}}$

ステップ 8.3.10

$\frac{2 e^{2 x} x + e^{2 x} + 4 C}{4 e^{2 x}}$ の因数を並べ替えます。

$y = \frac{2 x e^{2 x} + e^{2 x} + 4 C}{4 e^{2 x}}$

微分積分 例

微分積分例