微分積分例

$\frac{x^{2}}{y^{2} - 2} \cdot \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y}$

ステップ 1

変数を分けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$\frac{d y}{d x}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$\frac{x^{2}}{y^{2} - 2}$ と $\frac{d y}{d x}$ をまとめます。

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{y^{2} - 2} = \frac{1}{2 y}$

ステップ 1.1.2

1番目の分数の分子に2番目の分数の分母を掛けます。これを1番目の分数の分母と2番目の分数の分子の積に等しくします。

$x^{2} \frac{d y}{d x} (2 y) = (y^{2} - 2) \cdot 1$

ステップ 1.1.3

$\frac{d y}{d x}$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1.1

括弧を削除します。

$x^{2} \frac{d y}{d x} \cdot 2 y = (y^{2} - 2) \cdot 1$

ステップ 1.1.3.1.2

$y^{2} - 2$ に $1$ をかけます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} \cdot 2 y = y^{2} - 2$

ステップ 1.1.3.2

$x^{2} \frac{d y}{d x} \cdot (2 y) = y^{2} - 2$ の各項を $x^{2} \cdot 2 y$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.2.1

$x^{2} \frac{d y}{d x} \cdot (2 y) = y^{2} - 2$ の各項を $x^{2} \cdot 2 y$ で割ります。

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} \cdot (2 y)}{x^{2} \cdot 2 y} = \frac{y^{2}}{x^{2} \cdot 2 y} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

ステップ 1.1.3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.2.2.1

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} \cdot (2 y)}{x^{2} \cdot 2 y} = \frac{y^{2}}{x^{2} \cdot 2 y} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

ステップ 1.1.3.2.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{\frac{d y}{d x} \cdot (2 y)}{2 y} = \frac{y^{2}}{x^{2} \cdot 2 y} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

ステップ 1.1.3.2.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.2.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{d y}{d x} \cdot (2 y)}{2 y} = \frac{y^{2}}{x^{2} \cdot 2 y} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

ステップ 1.1.3.2.2.2.2

式を書き換えます。

$\frac{\frac{d y}{d x} \cdot y}{y} = \frac{y^{2}}{x^{2} \cdot 2 y} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

ステップ 1.1.3.2.2.3

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.2.2.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{d y}{d x} \cdot y}{y} = \frac{y^{2}}{x^{2} \cdot 2 y} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

ステップ 1.1.3.2.2.3.2

$\frac{d y}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x^{2} \cdot 2 y} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

ステップ 1.1.3.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.2.3.1.1

$y^{2}$ と $y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.2.3.1.1.1

$y$ を $y^{2}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{x^{2} \cdot 2 y} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

ステップ 1.1.3.2.3.1.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.2.3.1.1.2.1

$y$ を $x^{2} \cdot 2 y$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{y (x^{2} \cdot 2)} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

ステップ 1.1.3.2.3.1.1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{y (x^{2} \cdot 2)} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

ステップ 1.1.3.2.3.1.1.2.3

式を書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2} \cdot 2} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

ステップ 1.1.3.2.3.1.2

$2$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 \cdot x^{2}} + \frac{- 2}{x^{2} \cdot 2 y}$

ステップ 1.1.3.2.3.1.3

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.2.3.1.3.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x^{2}} + \frac{2 \cdot - 1}{x^{2} \cdot 2 y}$

ステップ 1.1.3.2.3.1.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.2.3.1.3.2.1

$2$ を $x^{2} \cdot 2 y$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x^{2}} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (x^{2} y)}$

ステップ 1.1.3.2.3.1.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x^{2}} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (x^{2} y)}$

ステップ 1.1.3.2.3.1.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x^{2}} + \frac{- 1}{x^{2} y}$

ステップ 1.1.3.2.3.1.4

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x^{2}} - \frac{1}{x^{2} y}$

ステップ 1.2

因数分解。

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ステップ 1.2.1

$\frac{y}{2 x^{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{y}{y}$ を掛けます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x^{2}} \cdot \frac{y}{y} - \frac{1}{x^{2} y}$

ステップ 1.2.2

$- \frac{1}{x^{2} y}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x^{2}} \cdot \frac{y}{y} - \frac{1}{x^{2} y} \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 1.2.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $2 y x^{2}$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 1.2.3.1

$\frac{y}{2 x^{2}}$ に $\frac{y}{y}$ をかけます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{2 x^{2} y} - \frac{1}{x^{2} y} \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 1.2.3.2

$\frac{1}{x^{2} y}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{2 x^{2} y} - \frac{2}{x^{2} y \cdot 2}$

ステップ 1.2.3.3

$x^{2} y \cdot 2$ の因数を並べ替えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{2 x^{2} y} - \frac{2}{2 x^{2} y}$

ステップ 1.2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y - 2}{2 x^{2} y}$

ステップ 1.2.5

$y$ に $y$ をかけます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} - 2}{2 x^{2} y}$

ステップ 1.3

因数をもう一度まとめます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} - 2}{2 y} \cdot \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 1.4

両辺に $\frac{2 y}{y^{2} - 2}$ を掛けます。

$\frac{2 y}{y^{2} - 2} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{y^{2} - 2} (\frac{y^{2} - 2}{2 y} \cdot \frac{1}{x^{2}})$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

$\frac{y^{2} - 2}{2 y}$ に $\frac{1}{x^{2}}$ をかけます。

$\frac{2 y}{y^{2} - 2} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{y^{2} - 2} \cdot \frac{y^{2} - 2}{2 y x^{2}}$

ステップ 1.5.2

$2 y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.2.1

$2 y$ を $2 y x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{2 y}{y^{2} - 2} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{y^{2} - 2} \cdot \frac{y^{2} - 2}{2 y (x^{2})}$

ステップ 1.5.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 y}{y^{2} - 2} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{y^{2} - 2} \cdot \frac{y^{2} - 2}{2 y x^{2}}$

ステップ 1.5.2.3

式を書き換えます。

$\frac{2 y}{y^{2} - 2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} - 2} \cdot \frac{y^{2} - 2}{x^{2}}$

ステップ 1.5.3

$y^{2} - 2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 y}{y^{2} - 2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} - 2} \cdot \frac{y^{2} - 2}{x^{2}}$

ステップ 1.5.3.2

式を書き換えます。

$\frac{2 y}{y^{2} - 2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 1.6

方程式を書き換えます。

$\frac{2 y}{y^{2} - 2} d y = \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{2 y}{y^{2} - 2} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

$2$ は $y$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$2 \int \frac{y}{y^{2} - 2} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 2.2.2

$u = y^{2} - 2$ とします。次に $d u = 2 y d y$ すると、 $\frac{1}{2} d u = y d y$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.2.2.1

$u = y^{2} - 2$ とします。 $\frac{d u}{d y}$ を求めます。

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ステップ 2.2.2.1.1

$y^{2} - 2$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [y^{2} - 2]$

ステップ 2.2.2.1.2

総和則では、 $y^{2} - 2$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2]$ です。

$\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2]$

ステップ 2.2.2.1.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 y + \frac{d}{d y} [- 2]$

ステップ 2.2.2.1.4

$- 2$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$2 y + 0$

ステップ 2.2.2.1.5

$2 y$ と $0$ をたし算します。

$2 y$

ステップ 2.2.2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 2.2.3

簡約します。

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ステップ 2.2.3.1

$\frac{1}{u}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 2.2.3.2

$2$ を $u$ の左に移動させます。

$2 \int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 2.2.4

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 2.2.5

簡約します。

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ステップ 2.2.5.1

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 2.2.5.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.5.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 2.2.5.2.2

式を書き換えます。

$1 \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 2.2.5.3

$\int \frac{1}{u} d u$ に $1$ をかけます。

$\int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 2.2.6

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$\ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 2.2.7

$u$ のすべての発生を $y^{2} - 2$ で置き換えます。

$\ln (| y^{2} - 2 |) + C_{1} = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 2.3.1.1

$x^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\ln (| y^{2} - 2 |) + C_{1} = \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

ステップ 2.3.1.2

${(x^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.3.1.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\ln (| y^{2} - 2 |) + C_{1} = \int x^{2 \cdot - 1} d x$

ステップ 2.3.1.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\ln (| y^{2} - 2 |) + C_{1} = \int x^{- 2} d x$

ステップ 2.3.2

べき乗則では、 $x^{- 2}$ の $x$ に関する積分は $- x^{- 1}$ です。

$\ln (| y^{2} - 2 |) + C_{1} = - x^{- 1} + C_{2}$

ステップ 2.3.3

$- x^{- 1} + C_{2}$ を $- \frac{1}{x} + C_{2}$ に書き換えます。

$\ln (| y^{2} - 2 |) + C_{1} = - \frac{1}{x} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\ln (| y^{2} - 2 |) = - \frac{1}{x} + C$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

$y$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (| y^{2} - 2 |)} = e^{- \frac{1}{x} + C}$

ステップ 3.2

対数の定義を利用して $\ln (| y^{2} - 2 |) = - \frac{1}{x} + C$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{- \frac{1}{x} + C} = | y^{2} - 2 |$

ステップ 3.3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.3.1

方程式を $| y^{2} - 2 | = e^{- \frac{1}{x} + C}$ として書き換えます。

$| y^{2} - 2 | = e^{- \frac{1}{x} + C}$

ステップ 3.3.2

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$y^{2} - 2 = \pm e^{- \frac{1}{x} + C}$

ステップ 3.3.3

方程式の両辺に $2$ を足します。

$y^{2} = \pm e^{- \frac{1}{x} + C} + 2$

ステップ 3.3.4

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \pm \sqrt{\pm e^{- \frac{1}{x} + C} + 2}$

ステップ 4

定数項をまとめます。

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ステップ 4.1

$e^{- \frac{1}{x} + C}$ を $e^{- \frac{1}{x}} e^{C}$ に書き換えます。

$y = \pm \sqrt{\pm e^{- \frac{1}{x}} e^{C} + 2}$

ステップ 4.2

$e^{- \frac{1}{x}}$ と $e^{C}$ を並べ替えます。

$y = \pm \sqrt{\pm e^{C} e^{- \frac{1}{x}} + 2}$

ステップ 4.3

定数を正または負でまとめます。

$y = \pm \sqrt{C e^{- \frac{1}{x}} + 2}$

微分積分 例

微分積分例