微分積分例

$(2 + y x^{- 2}) d x + (y - x^{- 1}) d y = 0$

ステップ 1

$M (x, y) = 2 + y x^{- 2}$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 + y x^{- 2}]$

ステップ 1.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 + y \frac{1}{x^{2}}]$

ステップ 1.3

微分します。

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ステップ 1.3.1

総和則では、 $2 + y \frac{1}{x^{2}}$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [2] + \frac{d}{d y} [y \frac{1}{x^{2}}]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2] + \frac{d}{d y} [y \frac{1}{x^{2}}]$

ステップ 1.3.2

$2$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y \frac{1}{x^{2}}]$

ステップ 1.4

$\frac{d}{d y} [y \frac{1}{x^{2}}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.4.1

$y$ と $\frac{1}{x^{2}}$ をまとめます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [\frac{y}{x^{2}}]$

ステップ 1.4.2

$\frac{1}{x^{2}}$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $\frac{y}{x^{2}}$ の微分係数は $\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d y} [y]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 1.4.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{1}{x^{2}} \cdot 1$

ステップ 1.4.4

$\frac{1}{x^{2}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 1.5

$0$ と $\frac{1}{x^{2}}$ をたし算します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 2

$N (x, y) = y - x^{- 1}$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

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ステップ 2.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y - x^{- 1}]$

ステップ 2.2

微分します。

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ステップ 2.2.1

総和則では、 $y - x^{- 1}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

ステップ 2.2.2

$y$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $y$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{- 1}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

ステップ 2.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - - x^{- 2}$

ステップ 2.3.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 1 x^{- 2}$

ステップ 2.3.4

$x^{- 2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + x^{- 2}$

ステップ 2.4

簡約します。

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ステップ 2.4.1

$0$ と $x^{- 2}$ をたし算します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = x^{- 2}$

ステップ 2.4.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

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ステップ 3.1

$\frac{1}{x^{2}}$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $\frac{1}{x^{2}}$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$\frac{1}{x^{2}} = \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 3.2

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$\frac{1}{x^{2}} = \frac{1}{x^{2}}$ は恒等式です。

ステップ 4

$f (x, y)$ は $N (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int y - x^{- 1} d y$

ステップ 5

$N (x, y) = y - x^{- 1}$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

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ステップ 5.1

単一積分を複数積分に分割します。

$f (x, y) = \int y d y + \int - x^{- 1} d y$

ステップ 5.2

べき乗則では、 $y$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} y^{2}$ です。

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + C + \int - x^{- 1} d y$

ステップ 5.3

定数の法則を当てはめます。

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + C - x^{- 1} y + C$

ステップ 5.4

簡約します。

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} - x^{- 1} y + C$

ステップ 6

$g (x)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (x)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} - x^{- 1} y + g (x)$

ステップ 7

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 + y x^{- 2}$

ステップ 8

$\frac{\partial f}{\partial x}$ を求めます。

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ステップ 8.1

$x$ に関して $f$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2} - x^{- 1} y + g (x)] = 2 + y x^{- 2}$

ステップ 8.2

微分します。

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ステップ 8.2.1

総和則では、 $\frac{1}{2} y^{2} - x^{- 1} y + g (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 + y x^{- 2}$

ステップ 8.2.2

$\frac{1}{2} y^{2}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $\frac{1}{2} y^{2}$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{- 1} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 + y x^{- 2}$

ステップ 8.3

$\frac{d}{d x} [- x^{- 1} y]$ の値を求めます。

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ステップ 8.3.1

$- y$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{- 1} y$ の微分係数は $- y \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$ です。

$0 - y \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 + y x^{- 2}$

ステップ 8.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 - y (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 + y x^{- 2}$

ステップ 8.3.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$0 + 1 y x^{- 2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 + y x^{- 2}$

ステップ 8.3.4

$y$ に $1$ をかけます。

$0 + y x^{- 2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 + y x^{- 2}$

ステップ 8.4

$g (x)$ の微分係数は $\frac{d g}{d x}$ であるという関数の規則を使って微分します。

$0 + y x^{- 2} + \frac{d g}{d x} = 2 + y x^{- 2}$

ステップ 8.5

簡約します。

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ステップ 8.5.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$0 + y \frac{1}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = 2 + y x^{- 2}$

ステップ 8.5.2

項をまとめます。

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ステップ 8.5.2.1

$y$ と $\frac{1}{x^{2}}$ をまとめます。

$0 + \frac{y}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = 2 + y x^{- 2}$

ステップ 8.5.2.2

$0$ と $\frac{y}{x^{2}}$ をたし算します。

$\frac{y}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = 2 + y x^{- 2}$

ステップ 8.5.3

項を並べ替えます。

$\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x^{2}} = 2 + y x^{- 2}$

ステップ 9

$\frac{d g}{d x}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

$\frac{d g}{d x}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 9.1.1.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x^{2}} = 2 + y \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 9.1.1.2

$y$ と $\frac{1}{x^{2}}$ をまとめます。

$\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x^{2}} = 2 + \frac{y}{x^{2}}$

ステップ 9.1.2

$\frac{d g}{d x}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 9.1.2.1

方程式の両辺から $\frac{y}{x^{2}}$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} = 2 + \frac{y}{x^{2}} - \frac{y}{x^{2}}$

ステップ 9.1.2.2

$2 + \frac{y}{x^{2}} - \frac{y}{x^{2}}$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.2.2.1

$\frac{y}{x^{2}}$ から $\frac{y}{x^{2}}$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} = 2 + 0$

ステップ 9.1.2.2.2

$2$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d g}{d x} = 2$

ステップ 10

$2$ の不定積分を求めて $g (x)$ を求めます。

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ステップ 10.1

$\frac{d g}{d x} = 2$ の両辺を積分します。

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 2 d x$

ステップ 10.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ の値を求めます。

$g (x) = \int 2 d x$

ステップ 10.3

定数の法則を当てはめます。

$g (x) = 2 x + C$

ステップ 11

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} - x^{- 1} y + g (x)$ の $g (x)$ に代入します。

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} - x^{- 1} y + 2 x + C$

ステップ 12

各項を簡約します。

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ステップ 12.1

$\frac{1}{2}$ と $y^{2}$ をまとめます。

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} - x^{- 1} y + 2 x + C$

ステップ 12.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} - \frac{1}{x} y + 2 x + C$

ステップ 12.3

$y$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} - \frac{y}{x} + 2 x + C$

微分積分 例

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