微分積分例

$\frac{d y}{d x} = e^{- y} (2 x - 4)$ , $y (5) = 0$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

両辺に $\frac{1}{e^{- y}}$ を掛けます。

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} (e^{- y} (2 x - 4))$

ステップ 1.2

$e^{- y}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} (e^{- y} (2 x - 4))$

ステップ 1.2.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = 2 x - 4$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{e^{- y}} d y = (2 x - 4) d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{e^{- y}} d y = \int 2 x - 4 d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

式を簡約します。

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ステップ 2.2.1.1

$e^{- y}$ の指数を否定し、分母の外に移動させます。

$\int 1 {(e^{- y})}^{- 1} d y = \int 2 x - 4 d x$

ステップ 2.2.1.2

簡約します。

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ステップ 2.2.1.2.1

${(e^{- y})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.2.1.2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int 1 e^{- y \cdot - 1} d y = \int 2 x - 4 d x$

ステップ 2.2.1.2.1.2

$- y \cdot - 1$ を掛けます。

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ステップ 2.2.1.2.1.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\int 1 e^{1 y} d y = \int 2 x - 4 d x$

ステップ 2.2.1.2.1.2.2

$y$ に $1$ をかけます。

$\int 1 e^{y} d y = \int 2 x - 4 d x$

ステップ 2.2.1.2.2

$e^{y}$ に $1$ をかけます。

$\int e^{y} d y = \int 2 x - 4 d x$

ステップ 2.2.2

$e^{y}$ の $y$ に関する積分は $e^{y}$ です。

$e^{y} + C_{1} = \int 2 x - 4 d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

単一積分を複数積分に分割します。

$e^{y} + C_{1} = \int 2 x d x + \int - 4 d x$

ステップ 2.3.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$e^{y} + C_{1} = 2 \int x d x + \int - 4 d x$

ステップ 2.3.3

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$e^{y} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int - 4 d x$

ステップ 2.3.4

定数の法則を当てはめます。

$e^{y} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) - 4 x + C_{3}$

ステップ 2.3.5

簡約します。

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ステップ 2.3.5.1

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$e^{y} + C_{1} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 4 x + C_{3}$

ステップ 2.3.5.2

簡約します。

$e^{y} + C_{1} = x^{2} - 4 x + C_{4}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$e^{y} = x^{2} - 4 x + K$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{y}) = \ln (x^{2} - 4 x + K)$

ステップ 3.2

左辺を展開します。

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ステップ 3.2.1

$y$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{y})$ を展開します。

$y \ln (e) = \ln (x^{2} - 4 x + K)$

ステップ 3.2.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$y \cdot 1 = \ln (x^{2} - 4 x + K)$

ステップ 3.2.3

$y$ に $1$ をかけます。

$y = \ln (x^{2} - 4 x + K)$

ステップ 4

初期条件を利用し、 $y = \ln (x^{2} - 4 x + K)$ の $5$ を $x$ に、 $0$ を $y$ に代入し $K$ の値を求めます。

$0 = \ln (5^{2} - 4 \cdot 5 + K)$

ステップ 5

$K$ について解きます。

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ステップ 5.1

方程式を $\ln (5^{2} - 4 \cdot 5 + K) = 0$ として書き換えます。

$\ln (5^{2} - 4 \cdot 5 + K) = 0$

ステップ 5.2

$K$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (5^{2} - 4 \cdot 5 + K)} = e^{0}$

ステップ 5.3

対数の定義を利用して $\ln (5^{2} - 4 \cdot 5 + K) = 0$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{0} = 5^{2} - 4 \cdot 5 + K$

ステップ 5.4

$K$ について解きます。

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ステップ 5.4.1

方程式を $5^{2} - 4 \cdot 5 + K = e^{0}$ として書き換えます。

$5^{2} - 4 \cdot 5 + K = e^{0}$

ステップ 5.4.2

$5^{2} - 4 \cdot 5 + K$ を簡約します。

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ステップ 5.4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.4.2.1.1

$5$ を $2$ 乗します。

$25 - 4 \cdot 5 + K = e^{0}$

ステップ 5.4.2.1.2

$- 4$ に $5$ をかけます。

$25 - 20 + K = e^{0}$

ステップ 5.4.2.2

$25$ から $20$ を引きます。

$5 + K = e^{0}$

ステップ 5.4.3

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$5 + K = 1$

ステップ 5.4.4

$K$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 5.4.4.1

方程式の両辺から $5$ を引きます。

$K = 1 - 5$

ステップ 5.4.4.2

$1$ から $5$ を引きます。

$K = - 4$

ステップ 6

$- 4$ を $y = \ln (x^{2} - 4 x + K)$ の中の $K$ に代入し簡約します。

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ステップ 6.1

$- 4$ を $K$ に代入します。

$y = \ln (x^{2} - 4 x - 4)$

微分積分 例

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