微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{{(2 + y)}^{2}}{2 x - 1}$

ステップ 1

変数を分けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

両辺に $\frac{1}{{(2 + y)}^{2}}$ を掛けます。

$\frac{1}{{(2 + y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(2 + y)}^{2}} \cdot \frac{{(2 + y)}^{2}}{2 x - 1}$

ステップ 1.2

${(2 + y)}^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{{(2 + y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(2 + y)}^{2}} \cdot \frac{{(2 + y)}^{2}}{2 x - 1}$

ステップ 1.2.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{{(2 + y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 x - 1}$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{{(2 + y)}^{2}} d y = \frac{1}{2 x - 1} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{{(2 + y)}^{2}} d y = \int \frac{1}{2 x - 1} d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$u_{1} = 2 + y$ とします。次に $d u_{1} = d y$ 。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

$u_{1} = 2 + y$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1.1

$2 + y$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [2 + y]$

ステップ 2.2.1.1.2

総和則では、 $2 + y$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [2] + \frac{d}{d y} [y]$ です。

$\frac{d}{d y} [2] + \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 2.2.1.1.3

$2$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 2.2.1.1.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 1$

ステップ 2.2.1.1.5

$0$ と $1$ をたし算します。

$1$

ステップ 2.2.1.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} = \int \frac{1}{2 x - 1} d x$

ステップ 2.2.2

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

${u_{1}}^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1} = \int \frac{1}{2 x - 1} d x$

ステップ 2.2.2.2

${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1} = \int \frac{1}{2 x - 1} d x$

ステップ 2.2.2.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\int {u_{1}}^{- 2} d u_{1} = \int \frac{1}{2 x - 1} d x$

ステップ 2.2.3

べき乗則では、 ${u_{1}}^{- 2}$ の $u_{1}$ に関する積分は $- {u_{1}}^{- 1}$ です。

$- {u_{1}}^{- 1} + C_{1} = \int \frac{1}{2 x - 1} d x$

ステップ 2.2.4

$- {u_{1}}^{- 1} + C_{1}$ を $- \frac{1}{u_{1}} + C_{1}$ に書き換えます。

$- \frac{1}{u_{1}} + C_{1} = \int \frac{1}{2 x - 1} d x$

ステップ 2.2.5

$u_{1}$ のすべての発生を $2 + y$ で置き換えます。

$- \frac{1}{2 + y} + C_{1} = \int \frac{1}{2 x - 1} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$u_{2} = 2 x - 1$ とします。次に $d u_{2} = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1

$u_{2} = 2 x - 1$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1.1

$2 x - 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

ステップ 2.3.1.1.2

総和則では、 $2 x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.3.1.1.3

$\frac{d}{d x} [2 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.3.1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.3.1.1.3.3

$2$ に $1$ をかけます。

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.3.1.1.4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1.4.1

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$2 + 0$

ステップ 2.3.1.1.4.2

$2$ と $0$ をたし算します。

$2$

ステップ 2.3.1.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$- \frac{1}{2 + y} + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

ステップ 2.3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

$\frac{1}{u_{2}}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$- \frac{1}{2 + y} + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

ステップ 2.3.2.2

$2$ を $u_{2}$ の左に移動させます。

$- \frac{1}{2 + y} + C_{1} = \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

ステップ 2.3.3

$\frac{1}{2}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{1}{2 + y} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 2.3.4

$\frac{1}{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\ln (| u_{2} |)$ です。

$- \frac{1}{2 + y} + C_{1} = \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

ステップ 2.3.5

簡約します。

$- \frac{1}{2 + y} + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

ステップ 2.3.6

$u_{2}$ のすべての発生を $2 x - 1$ で置き換えます。

$- \frac{1}{2 + y} + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| 2 x - 1 |) + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$- \frac{1}{2 + y} = \frac{1}{2} \ln (| 2 x - 1 |) + C$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

対数の中の $\frac{1}{2}$ を移動させて $\frac{1}{2} \ln (| 2 x - 1 |)$ を簡約します。

$- \frac{1}{2 + y} = \ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C$

ステップ 3.2

方程式の項の最小公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$2 + y, 1, 1$

ステップ 3.2.2

括弧を削除します。

$2 + y, 1, 1$

ステップ 3.2.3

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$2 + y$

ステップ 3.3

$- \frac{1}{2 + y} = \ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C$ の各項に $2 + y$ を掛け、分数を消去します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$- \frac{1}{2 + y} = \ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C$ の各項に $2 + y$ を掛けます。

$- \frac{1}{2 + y} (2 + y) = \ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) (2 + y) + C (2 + y)$

ステップ 3.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

$2 + y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1

$- \frac{1}{2 + y}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- 1}{2 + y} (2 + y) = \ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) (2 + y) + C (2 + y)$

ステップ 3.3.2.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{- 1}{2 + y} (2 + y) = \ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) (2 + y) + C (2 + y)$

ステップ 3.3.2.1.3

式を書き換えます。

$- 1 = \ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) (2 + y) + C (2 + y)$

ステップ 3.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1.1

分配則を当てはめます。

$- 1 = \ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 2 + \ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) y + C (2 + y)$

ステップ 3.3.3.1.2

$\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 2$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1.2.1

$\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}})$ と $2$ を並べ替えます。

$- 1 = 2 \cdot \ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + \ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) y + C (2 + y)$

ステップ 3.3.3.1.2.2

対数の中の $2$ を移動させて $2 \cdot \ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}})$ を簡約します。

$- 1 = \ln ({({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}})}^{2}) + \ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) y + C (2 + y)$

ステップ 3.3.3.1.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1.3.1

${({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1.3.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- 1 = \ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + \ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) y + C (2 + y)$

ステップ 3.3.3.1.3.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1.3.1.2.1

共通因数を約分します。

$- 1 = \ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + \ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) y + C (2 + y)$

ステップ 3.3.3.1.3.1.2.2

式を書き換えます。

$- 1 = \ln ({| 2 x - 1 |}^{1}) + \ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) y + C (2 + y)$

ステップ 3.3.3.1.3.2

簡約します。

$- 1 = \ln (| 2 x - 1 |) + \ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) y + C (2 + y)$

ステップ 3.3.3.1.4

分配則を当てはめます。

$- 1 = \ln (| 2 x - 1 |) + \ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) y + C \cdot 2 + C y$

ステップ 3.3.3.1.5

$2$ を $C$ の左に移動させます。

$- 1 = \ln (| 2 x - 1 |) + \ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) y + 2 C + C y$

ステップ 3.3.3.2

$\ln (| 2 x - 1 |) + \ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) y + 2 C + C y$ の因数を並べ替えます。

$- 1 = \ln (| 2 x - 1 |) + y \ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + 2 C + C y$

ステップ 3.4

方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

方程式を $\ln (| 2 x - 1 |) + y \ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + 2 C + C y = - 1$ として書き換えます。

$\ln (| 2 x - 1 |) + y \ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + 2 C + C y = - 1$

ステップ 3.4.2

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$\ln (| 2 x - 1 |) + y \ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) = - 2 C - C y - 1$

ステップ 3.4.3

方程式の両辺に $C y$ を足します。

$\ln (| 2 x - 1 |) + y \ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C y = - 2 C - 1$

ステップ 3.4.4

方程式の両辺から $\ln (| 2 x - 1 |)$ を引きます。

$y \ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C y = - 2 C - 1 - \ln (| 2 x - 1 |)$

ステップ 3.4.5

$y$ を $y \ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C y$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.5.1

$y$ を $C y$ で因数分解します。

$y \ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + y C = - 2 C - 1 - \ln (| 2 x - 1 |)$

ステップ 3.4.5.2

$y$ を $y \ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + y C$ で因数分解します。

$y (\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C) = - 2 C - 1 - \ln (| 2 x - 1 |)$

ステップ 3.4.6

$y (\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C) = - 2 C - 1 - \ln (| 2 x - 1 |)$ の各項を $\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.6.1

$y (\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C) = - 2 C - 1 - \ln (| 2 x - 1 |)$ の各項を $\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C$ で割ります。

$\frac{y (\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C)}{\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C} = \frac{- 2 C}{\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C} + \frac{- 1}{\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C} + \frac{- \ln (| 2 x - 1 |)}{\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}$

ステップ 3.4.6.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.6.2.1

$\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.6.2.1.1

共通因数を約分します。

ステップ 3.4.6.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{- 2 C}{\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C} + \frac{- 1}{\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C} + \frac{- \ln (| 2 x - 1 |)}{\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}$

ステップ 3.4.6.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.6.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.6.3.1.1

分数の前に負数を移動させます。

$y = - \frac{2 C}{\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C} + \frac{- 1}{\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C} + \frac{- \ln (| 2 x - 1 |)}{\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}$

ステップ 3.4.6.3.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$y = - \frac{2 C}{\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C} - \frac{1}{\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C} + \frac{- \ln (| 2 x - 1 |)}{\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}$

ステップ 3.4.6.3.1.3

分数の前に負数を移動させます。

$y = - \frac{2 C}{\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C} - \frac{1}{\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C} - \frac{\ln (| 2 x - 1 |)}{\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}$

ステップ 3.4.6.3.2

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.6.3.2.1

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{- 2 C - 1}{\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C} - \frac{\ln (| 2 x - 1 |)}{\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}$

ステップ 3.4.6.3.2.2

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{- 2 C - 1 - \ln (| 2 x - 1 |)}{\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}$

ステップ 3.4.6.3.2.3

$- 1$ を $- 2 C$ で因数分解します。

$y = \frac{- (2 C) - 1 - \ln (| 2 x - 1 |)}{\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}$

ステップ 3.4.6.3.2.4

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$y = \frac{- (2 C) - 1 (1) - \ln (| 2 x - 1 |)}{\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}$

ステップ 3.4.6.3.2.5

$- 1$ を $- (2 C) - 1 (1)$ で因数分解します。

$y = \frac{- (2 C + 1) - \ln (| 2 x - 1 |)}{\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}$

ステップ 3.4.6.3.2.6

$- 1$ を $- (2 C + 1) - \ln (| 2 x - 1 |)$ で因数分解します。

$y = \frac{- (2 C + 1 + \ln (| 2 x - 1 |))}{\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}$

ステップ 3.4.6.3.2.7

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.6.3.2.7.1

$- (2 C + 1 + \ln (| 2 x - 1 |))$ を $- 1 (2 C + 1 + \ln (| 2 x - 1 |))$ に書き換えます。

$y = \frac{- 1 (2 C + 1 + \ln (| 2 x - 1 |))}{\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}$

ステップ 3.4.6.3.2.7.2

分数の前に負数を移動させます。

$y = - \frac{2 C + 1 + \ln (| 2 x - 1 |)}{\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$y = - \frac{C + \ln (| 2 x - 1 |)}{\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}$

微分積分 例

微分積分例