微分積分例

$\frac{d y}{d x} + 4 x^{3} y = x^{3}$

ステップ 1

$P (x) = 4 x^{3}$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

積分を設定します。

$e^{\int 4 x^{3} d x}$

ステップ 1.2

$4 x^{3}$ を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$e^{4 \int x^{3} d x}$

ステップ 1.2.2

べき乗則では、 $x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{4} x^{4}$ です。

$e^{4 (\frac{1}{4} x^{4} + C)}$

ステップ 1.2.3

答えを簡約します。

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ステップ 1.2.3.1

$4 (\frac{1}{4} x^{4} + C)$ を $4 (\frac{1}{4}) x^{4} + C$ に書き換えます。

$e^{4 (\frac{1}{4}) x^{4} + C}$

ステップ 1.2.3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.1

$4$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$e^{\frac{4}{4} x^{4} + C}$

ステップ 1.2.3.2.2

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$e^{\frac{4}{4} x^{4} + C}$

ステップ 1.2.3.2.2.2

式を書き換えます。

$e^{1 x^{4} + C}$

ステップ 1.2.3.2.3

$x^{4}$ に $1$ をかけます。

$e^{x^{4} + C}$

ステップ 1.3

積分定数を削除します。

$e^{x^{4}}$

ステップ 2

各項に積分因数 $e^{x^{4}}$ を掛けます。

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ステップ 2.1

各項に $e^{x^{4}}$ を掛けます。

$e^{x^{4}} \frac{d y}{d x} + e^{x^{4}} (4 x^{3} y) = e^{x^{4}} x^{3}$

ステップ 2.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$e^{x^{4}} \frac{d y}{d x} + 4 e^{x^{4}} (x^{3} y) = e^{x^{4}} x^{3}$

ステップ 2.3

$e^{x^{4}} \frac{d y}{d x} + 4 e^{x^{4}} (x^{3} y) = e^{x^{4}} x^{3}$ の因数を並べ替えます。

$e^{x^{4}} \frac{d y}{d x} + 4 x^{3} y e^{x^{4}} = x^{3} e^{x^{4}}$

ステップ 3

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [e^{x^{4}} y] = x^{3} e^{x^{4}}$

ステップ 4

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [e^{x^{4}} y] d x = \int x^{3} e^{x^{4}} d x$

ステップ 5

左辺を積分します。

$e^{x^{4}} y = \int x^{3} e^{x^{4}} d x$

ステップ 6

右辺を積分します。

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ステップ 6.1

$u_{1} = x^{2}$ とします。次に $d u_{1} = 2 x d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 6.1.1

$u_{1} = x^{2}$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.1

$x^{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 6.1.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x$

ステップ 6.1.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$e^{x^{4}} y = \int u_{1} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 6.2

簡約します。

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ステップ 6.2.1

${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ を ${u_{1}}^{2}$ に書き換えます。

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ステップ 6.2.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u_{1}}$ を ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$e^{x^{4}} y = \int u_{1} e^{{({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 6.2.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$e^{x^{4}} y = \int u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 6.2.1.3

$\frac{1}{2}$ と $4$ をまとめます。

$e^{x^{4}} y = \int u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{4}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 6.2.1.4

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.1.4.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$e^{x^{4}} y = \int u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 6.2.1.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.1.4.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$e^{x^{4}} y = \int u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 6.2.1.4.2.2

共通因数を約分します。

$e^{x^{4}} y = \int u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 6.2.1.4.2.3

式を書き換えます。

$e^{x^{4}} y = \int u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{2}{1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 6.2.1.4.2.4

$2$ を $1$ で割ります。

$e^{x^{4}} y = \int u_{1} e^{{u_{1}}^{2}} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 6.2.2

$\frac{1}{2}$ と $u_{1}$ をまとめます。

$e^{x^{4}} y = \int \frac{u_{1}}{2} e^{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

ステップ 6.2.3

$\frac{u_{1}}{2}$ と $e^{{u_{1}}^{2}}$ をまとめます。

$e^{x^{4}} y = \int \frac{u_{1} e^{{u_{1}}^{2}}}{2} d u_{1}$

ステップ 6.3

$\frac{1}{2}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$e^{x^{4}} y = \frac{1}{2} \int u_{1} e^{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

ステップ 6.4

$u_{2} = {u_{1}}^{2}$ とします。次に $d u_{2} = 2 u_{1} d u_{1}$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 6.4.1

$u_{2} = {u_{1}}^{2}$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ を求めます。

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ステップ 6.4.1.1

${u_{1}}^{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

ステップ 6.4.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 u_{1}$

ステップ 6.4.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$e^{x^{4}} y = \frac{1}{2} \int e^{u_{2}} \frac{1}{2} d u_{2}$

ステップ 6.5

$e^{u_{2}}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$e^{x^{4}} y = \frac{1}{2} \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

ステップ 6.6

$\frac{1}{2}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$e^{x^{4}} y = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

ステップ 6.7

簡約します。

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ステップ 6.7.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$e^{x^{4}} y = \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 6.7.2

$2$ に $2$ をかけます。

$e^{x^{4}} y = \frac{1}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 6.8

$e^{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $e^{u_{2}}$ です。

$e^{x^{4}} y = \frac{1}{4} (e^{u_{2}} + C)$

ステップ 6.9

簡約します。

$e^{x^{4}} y = \frac{1}{4} e^{u_{2}} + C$

ステップ 6.10

各積分に置換変数を戻し入れます。

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ステップ 6.10.1

$u_{2}$ のすべての発生を ${u_{1}}^{2}$ で置き換えます。

$e^{x^{4}} y = \frac{1}{4} e^{{u_{1}}^{2}} + C$

ステップ 6.10.2

$u_{1}$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$e^{x^{4}} y = \frac{1}{4} e^{{(x^{2})}^{2}} + C$

ステップ 7

$e^{x^{4}} y = \frac{1}{4} e^{{(x^{2})}^{2}} + C$ の各項を $e^{x^{4}}$ で割り、簡約します。

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ステップ 7.1

$e^{x^{4}} y = \frac{1}{4} e^{{(x^{2})}^{2}} + C$ の各項を $e^{x^{4}}$ で割ります。

$\frac{e^{x^{4}} y}{e^{x^{4}}} = \frac{\frac{1}{4} e^{{(x^{2})}^{2}}}{e^{x^{4}}} + \frac{C}{e^{x^{4}}}$

ステップ 7.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

$e^{x^{4}}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{x^{4}} y}{e^{x^{4}}} = \frac{\frac{1}{4} e^{{(x^{2})}^{2}}}{e^{x^{4}}} + \frac{C}{e^{x^{4}}}$

ステップ 7.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\frac{1}{4} e^{{(x^{2})}^{2}}}{e^{x^{4}}} + \frac{C}{e^{x^{4}}}$

ステップ 7.3

右辺を簡約します。

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ステップ 7.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.3.1.1

$e^{{(x^{2})}^{2}}$ と $e^{x^{4}}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.3.1.1.1

$e^{x^{4}}$ を $\frac{1}{4} e^{{(x^{2})}^{2}}$ で因数分解します。

$y = \frac{e^{x^{4}} (\frac{1}{4} e^{{(x^{2})}^{2} - x^{4}})}{e^{x^{4}}} + \frac{C}{e^{x^{4}}}$

ステップ 7.3.1.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1.1.2.1

$1$ を掛けます。

$y = \frac{e^{x^{4}} (\frac{1}{4} e^{{(x^{2})}^{2} - x^{4}})}{e^{x^{4}} \cdot 1} + \frac{C}{e^{x^{4}}}$

ステップ 7.3.1.1.2.2

共通因数を約分します。

$y = \frac{e^{x^{4}} (\frac{1}{4} e^{{(x^{2})}^{2} - x^{4}})}{e^{x^{4}} \cdot 1} + \frac{C}{e^{x^{4}}}$

ステップ 7.3.1.1.2.3

式を書き換えます。

$y = \frac{\frac{1}{4} e^{{(x^{2})}^{2} - x^{4}}}{1} + \frac{C}{e^{x^{4}}}$

ステップ 7.3.1.1.2.4

$\frac{1}{4} e^{{(x^{2})}^{2} - x^{4}}$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{1}{4} e^{{(x^{2})}^{2} - x^{4}} + \frac{C}{e^{x^{4}}}$

ステップ 7.3.1.2

${(x^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y = \frac{1}{4} e^{x^{2 \cdot 2} - x^{4}} + \frac{C}{e^{x^{4}}}$

ステップ 7.3.1.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$y = \frac{1}{4} e^{x^{4} - x^{4}} + \frac{C}{e^{x^{4}}}$

ステップ 7.3.1.3

$x^{4}$ から $x^{4}$ を引きます。

$y = \frac{1}{4} e^{0} + \frac{C}{e^{x^{4}}}$

ステップ 7.3.1.4

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$y = \frac{1}{4} \cdot 1 + \frac{C}{e^{x^{4}}}$

ステップ 7.3.1.5

$\frac{1}{4}$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{1}{4} + \frac{C}{e^{x^{4}}}$

微分積分 例

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