微分積分例

$x^{2} d x + y e d y = 0$

ステップ 1

方程式の両辺から $x^{2} d x$ を引きます。

$y e d y = - x^{2} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int y e d y = \int - x^{2} d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$e$ は $y$ に対して定数なので、 $e$ を積分の外に移動させます。

$e \int y d y = \int - x^{2} d x$

ステップ 2.2.2

べき乗則では、 $y$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} y^{2}$ です。

$e (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int - x^{2} d x$

ステップ 2.2.3

答えを簡約します。

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ステップ 2.2.3.1

$e (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ を $e \frac{1}{2} y^{2} + C_{1}$ に書き換えます。

$e \frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - x^{2} d x$

ステップ 2.2.3.2

$e$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{e}{2} y^{2} + C_{1} = \int - x^{2} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{e}{2} y^{2} + C_{1} = - \int x^{2} d x$

ステップ 2.3.2

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$\frac{e}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$

ステップ 2.3.3

$- (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$ を $- \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$ に書き換えます。

$\frac{e}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$\frac{e}{2} y^{2} = - \frac{1}{3} x^{3} + K$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺に $\frac{2}{e}$ を掛けます。

$\frac{2}{e} (\frac{e}{2} y^{2}) = \frac{2}{e} (- \frac{1}{3} x^{3} + K)$

ステップ 3.2

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

$\frac{2}{e} (\frac{e}{2} y^{2})$ を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1.1

$\frac{e}{2}$ と $y^{2}$ をまとめます。

$\frac{2}{e} \cdot \frac{e y^{2}}{2} = \frac{2}{e} (- \frac{1}{3} x^{3} + K)$

ステップ 3.2.1.1.2

まとめる。

$\frac{2 (e y^{2})}{e \cdot 2} = \frac{2}{e} (- \frac{1}{3} x^{3} + K)$

ステップ 3.2.1.1.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.1.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 (e y^{2})}{e \cdot 2} = \frac{2}{e} (- \frac{1}{3} x^{3} + K)$

ステップ 3.2.1.1.3.2

式を書き換えます。

$\frac{e y^{2}}{e} = \frac{2}{e} (- \frac{1}{3} x^{3} + K)$

ステップ 3.2.1.1.4

$e$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.1.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{e y^{2}}{e} = \frac{2}{e} (- \frac{1}{3} x^{3} + K)$

ステップ 3.2.1.1.4.2

$y^{2}$ を $1$ で割ります。

$y^{2} = \frac{2}{e} (- \frac{1}{3} x^{3} + K)$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$\frac{2}{e} (- \frac{1}{3} x^{3} + K)$ を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1.1

項を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1.1.1

$x^{3}$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$y^{2} = \frac{2}{e} (- \frac{x^{3}}{3} + K)$

ステップ 3.2.2.1.1.2

分配則を当てはめます。

$y^{2} = \frac{2}{e} (- \frac{x^{3}}{3}) + \frac{2}{e} K$

ステップ 3.2.2.1.1.3

$\frac{2}{e}$ に $\frac{x^{3}}{3}$ をかけます。

$y^{2} = - \frac{2 x^{3}}{e \cdot 3} + \frac{2}{e} K$

ステップ 3.2.2.1.1.4

$\frac{2}{e}$ と $K$ をまとめます。

$y^{2} = - \frac{2 x^{3}}{e \cdot 3} + \frac{2 K}{e}$

ステップ 3.2.2.1.2

$3$ を $e$ の左に移動させます。

$y^{2} = - \frac{2 x^{3}}{3 e} + \frac{2 K}{e}$

ステップ 3.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \pm \sqrt{- \frac{2 x^{3}}{3 e} + \frac{2 K}{e}}$

ステップ 3.4

$\pm \sqrt{- \frac{2 x^{3}}{3 e} + \frac{2 K}{e}}$ を簡約します。

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ステップ 3.4.1

$\frac{2 K}{e}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$y = \pm \sqrt{- \frac{2 x^{3}}{3 e} + \frac{2 K}{e} \cdot \frac{3}{3}}$

ステップ 3.4.2

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $3 e$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 3.4.2.1

$\frac{2 K}{e}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$y = \pm \sqrt{- \frac{2 x^{3}}{3 e} + \frac{2 K \cdot 3}{e \cdot 3}}$

ステップ 3.4.2.2

$e \cdot 3$ の因数を並べ替えます。

$y = \pm \sqrt{- \frac{2 x^{3}}{3 e} + \frac{2 K \cdot 3}{3 e}}$

ステップ 3.4.3

公分母の分子をまとめます。

$y = \pm \sqrt{\frac{- 2 x^{3} + 2 K \cdot 3}{3 e}}$

ステップ 3.4.4

分子を簡約します。

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ステップ 3.4.4.1

$2$ を $- 2 x^{3} + 2 K \cdot 3$ で因数分解します。

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ステップ 3.4.4.1.1

$2$ を $- 2 x^{3}$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (- x^{3}) + 2 K \cdot 3}{3 e}}$

ステップ 3.4.4.1.2

$2$ を $2 K \cdot 3$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (- x^{3}) + 2 (K \cdot 3)}{3 e}}$

ステップ 3.4.4.1.3

$2$ を $2 (- x^{3}) + 2 (K \cdot 3)$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (- x^{3} + K \cdot 3)}{3 e}}$

ステップ 3.4.4.2

$3$ を $K$ の左に移動させます。

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (- x^{3} + 3 K)}{3 e}}$

ステップ 3.4.5

$\sqrt{\frac{2 (- x^{3} + 3 K)}{3 e}}$ を $\frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 3 K)}}{\sqrt{3 e}}$ に書き換えます。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 3 K)}}{\sqrt{3 e}}$

ステップ 3.4.6

$\frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 3 K)}}{\sqrt{3 e}}$ に $\frac{\sqrt{3 e}}{\sqrt{3 e}}$ をかけます。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 3 K)}}{\sqrt{3 e}} \cdot \frac{\sqrt{3 e}}{\sqrt{3 e}}$

ステップ 3.4.7

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 3.4.7.1

$\frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 3 K)}}{\sqrt{3 e}}$ に $\frac{\sqrt{3 e}}{\sqrt{3 e}}$ をかけます。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 3 K)} \sqrt{3 e}}{\sqrt{3 e} \sqrt{3 e}}$

ステップ 3.4.7.2

$\sqrt{3 e}$ を $1$ 乗します。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 3 K)} \sqrt{3 e}}{{\sqrt{3 e}}^{1} \sqrt{3 e}}$

ステップ 3.4.7.3

$\sqrt{3 e}$ を $1$ 乗します。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 3 K)} \sqrt{3 e}}{{\sqrt{3 e}}^{1} {\sqrt{3 e}}^{1}}$

ステップ 3.4.7.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 3 K)} \sqrt{3 e}}{{\sqrt{3 e}}^{1 + 1}}$

ステップ 3.4.7.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 3 K)} \sqrt{3 e}}{{\sqrt{3 e}}^{2}}$

ステップ 3.4.7.6

${\sqrt{3 e}}^{2}$ を $3 e$ に書き換えます。

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ステップ 3.4.7.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3 e}$ を ${(3 e)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 3 K)} \sqrt{3 e}}{{({(3 e)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 3.4.7.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 3 K)} \sqrt{3 e}}{{(3 e)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 3.4.7.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 3 K)} \sqrt{3 e}}{{(3 e)}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 3.4.7.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.7.6.4.1

共通因数を約分します。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 3 K)} \sqrt{3 e}}{{(3 e)}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 3.4.7.6.4.2

式を書き換えます。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 3 K)} \sqrt{3 e}}{{(3 e)}^{1}}$

ステップ 3.4.7.6.5

簡約します。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 3 K)} \sqrt{3 e}}{3 e}$

ステップ 3.4.8

分子を簡約します。

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ステップ 3.4.8.1

根の積の法則を使ってまとめます。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- x^{3} + 3 K) (3 e)}}{3 e}$

ステップ 3.4.8.2

$3$ に $2$ をかけます。

$y = \pm \frac{\sqrt{6 (- x^{3} + 3 K) e}}{3 e}$

ステップ 3.4.9

$\pm \frac{\sqrt{6 (- x^{3} + 3 K) e}}{3 e}$ の因数を並べ替えます。

$y = \pm \frac{\sqrt{6 e (- x^{3} + 3 K)}}{3 e}$

ステップ 3.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 3.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = \frac{\sqrt{6 e (- x^{3} + 3 K)}}{3 e}$

ステップ 3.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y = - \frac{\sqrt{6 e (- x^{3} + 3 K)}}{3 e}$

ステップ 3.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = \frac{\sqrt{6 e (- x^{3} + 3 K)}}{3 e}$

$y = - \frac{\sqrt{6 e (- x^{3} + 3 K)}}{3 e}$

$y = \frac{\sqrt{6 e (- x^{3} + 3 K)}}{3 e}$

$y = - \frac{\sqrt{6 e (- x^{3} + 3 K)}}{3 e}$

$y = \frac{\sqrt{6 e (- x^{3} + 3 K)}}{3 e}$

$y = - \frac{\sqrt{6 e (- x^{3} + 3 K)}}{3 e}$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$y = \frac{\sqrt{6 e (- x^{3} + K)}}{3 e}$

$y = - \frac{\sqrt{6 e (- x^{3} + K)}}{3 e}$

微分積分 例

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