微分積分例

$(x - 34) \frac{d y}{d x} - y = {(x - 34)}^{3}$

ステップ 1

微分方程式を $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ として書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$(x - 34) \frac{d y}{d x} - y = {(x - 34)}^{3}$ の各項を $x - 34$ で割ります。

$\frac{(x - 34) \frac{d y}{d x}}{x - 34} + \frac{- y}{x - 34} = \frac{{(x - 34)}^{3}}{x - 34}$

ステップ 1.2

$x - 34$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{(x - 34) \frac{d y}{d x}}{x - 34} + \frac{- y}{x - 34} = \frac{{(x - 34)}^{3}}{x - 34}$

ステップ 1.2.2

$\frac{d y}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x - 34} = \frac{{(x - 34)}^{3}}{x - 34}$

ステップ 1.3

${(x - 34)}^{3}$ と $x - 34$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$x - 34$ を ${(x - 34)}^{3}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x - 34} = \frac{(x - 34) {(x - 34)}^{2}}{x - 34}$

ステップ 1.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.1

$1$ を掛けます。

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x - 34} = \frac{(x - 34) {(x - 34)}^{2}}{(x - 34) \cdot 1}$

ステップ 1.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x - 34} = \frac{(x - 34) {(x - 34)}^{2}}{(x - 34) \cdot 1}$

ステップ 1.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x - 34} = \frac{{(x - 34)}^{2}}{1}$

ステップ 1.3.2.4

${(x - 34)}^{2}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x - 34} = {(x - 34)}^{2}$

ステップ 1.4

$y$ を $\frac{- y}{x - 34}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 1}{x - 34} = {(x - 34)}^{2}$

ステップ 1.5

$y$ と $\frac{- 1}{x - 34}$ を並べ替えます。

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 1}{x - 34} y = {(x - 34)}^{2}$

ステップ 2

$P (x) = \frac{- 1}{x - 34}$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

積分を設定します。

$e^{\int \frac{- 1}{x - 34} d x}$

ステップ 2.2

$\frac{- 1}{x - 34}$ を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

分数の前に負数を移動させます。

$e^{\int - \frac{1}{x - 34} d x}$

ステップ 2.2.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$e^{- \int \frac{1}{x - 34} d x}$

ステップ 2.2.3

$u = x - 34$ とします。次に $d u = d x$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

$u = x - 34$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1.1

$x - 34$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x - 34]$

ステップ 2.2.3.1.2

総和則では、 $x - 34$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 34]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 34]$

ステップ 2.2.3.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [- 34]$

ステップ 2.2.3.1.4

$- 34$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 34$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 2.2.3.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 2.2.3.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$e^{- \int \frac{1}{u} d u}$

ステップ 2.2.4

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$e^{- (\ln (| u |) + C)}$

ステップ 2.2.5

簡約します。

$e^{- \ln (| u |) + C}$

ステップ 2.2.6

$u$ のすべての発生を $x - 34$ で置き換えます。

$e^{- \ln (| x - 34 |) + C}$

ステップ 2.3

積分定数を削除します。

$e^{- \ln (x - 34)}$

ステップ 2.4

対数のべき乗則を利用します。

$e^{\ln ({(x - 34)}^{- 1})}$

ステップ 2.5

指数関数と対数関数は逆関数です。

${(x - 34)}^{- 1}$

ステップ 2.6

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{1}{x - 34}$

ステップ 3

各項に積分因数 $\frac{1}{x - 34}$ を掛けます。

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ステップ 3.1

各項に $\frac{1}{x - 34}$ を掛けます。

$\frac{1}{x - 34} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x - 34} (\frac{- 1}{x - 34} y) = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

ステップ 3.2

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$\frac{1}{x - 34}$ と $\frac{d y}{d x}$ をまとめます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x - 34} + \frac{1}{x - 34} (\frac{- 1}{x - 34} y) = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

ステップ 3.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x - 34} + \frac{1}{x - 34} (- \frac{1}{x - 34} y) = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

ステップ 3.2.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x - 34} - \frac{1}{x - 34} (\frac{1}{x - 34} y) = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

ステップ 3.2.4

$\frac{1}{x - 34}$ と $y$ をまとめます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x - 34} - \frac{1}{x - 34} \cdot \frac{y}{x - 34} = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

ステップ 3.2.5

$- \frac{1}{x - 34} \cdot \frac{y}{x - 34}$ を掛けます。

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ステップ 3.2.5.1

$\frac{y}{x - 34}$ に $\frac{1}{x - 34}$ をかけます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x - 34} - \frac{y}{(x - 34) (x - 34)} = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

ステップ 3.2.5.2

$x - 34$ を $1$ 乗します。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x - 34} - \frac{y}{{(x - 34)}^{1} (x - 34)} = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

ステップ 3.2.5.3

$x - 34$ を $1$ 乗します。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x - 34} - \frac{y}{{(x - 34)}^{1} {(x - 34)}^{1}} = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

ステップ 3.2.5.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x - 34} - \frac{y}{{(x - 34)}^{1 + 1}} = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

ステップ 3.2.5.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x - 34} - \frac{y}{{(x - 34)}^{2}} = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

ステップ 3.3

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x - 34}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x - 34}{x - 34}$ を掛けます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x - 34} \cdot \frac{x - 34}{x - 34} - \frac{y}{{(x - 34)}^{2}} = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

ステップ 3.4

$1$ の適した因数を掛けて、各式を ${(x - 34)}^{2}$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 3.4.1

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x - 34}$ に $\frac{x - 34}{x - 34}$ をかけます。

$\frac{\frac{d y}{d x} (x - 34)}{(x - 34) (x - 34)} - \frac{y}{{(x - 34)}^{2}} = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

ステップ 3.4.2

$x - 34$ を $1$ 乗します。

$\frac{\frac{d y}{d x} (x - 34)}{{(x - 34)}^{1} (x - 34)} - \frac{y}{{(x - 34)}^{2}} = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

ステップ 3.4.3

$x - 34$ を $1$ 乗します。

$\frac{\frac{d y}{d x} (x - 34)}{{(x - 34)}^{1} {(x - 34)}^{1}} - \frac{y}{{(x - 34)}^{2}} = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

ステップ 3.4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\frac{d y}{d x} (x - 34)}{{(x - 34)}^{1 + 1}} - \frac{y}{{(x - 34)}^{2}} = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

ステップ 3.4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\frac{d y}{d x} (x - 34)}{{(x - 34)}^{2}} - \frac{y}{{(x - 34)}^{2}} = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

ステップ 3.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{d y}{d x} (x - 34) - y}{{(x - 34)}^{2}} = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

ステップ 3.6

分子を簡約します。

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ステップ 3.6.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} \cdot - 34 - y}{{(x - 34)}^{2}} = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

ステップ 3.6.2

$- 34$ を $\frac{d y}{d x}$ の左に移動させます。

$\frac{\frac{d y}{d x} x - 34 \frac{d y}{d x} - y}{{(x - 34)}^{2}} = \frac{1}{x - 34} {(x - 34)}^{2}$

ステップ 3.7

$x - 34$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.7.1

$x - 34$ を ${(x - 34)}^{2}$ で因数分解します。

$\frac{\frac{d y}{d x} x - 34 \frac{d y}{d x} - y}{{(x - 34)}^{2}} = \frac{1}{x - 34} ((x - 34) (x - 34))$

ステップ 3.7.2

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{d y}{d x} x - 34 \frac{d y}{d x} - y}{{(x - 34)}^{2}} = \frac{1}{x - 34} ((x - 34) (x - 34))$

ステップ 3.7.3

式を書き換えます。

$\frac{\frac{d y}{d x} x - 34 \frac{d y}{d x} - y}{{(x - 34)}^{2}} = x - 34$

ステップ 3.8

$\frac{\frac{d y}{d x} x - 34 \frac{d y}{d x} - y}{{(x - 34)}^{2}} = x - 34$ の因数を並べ替えます。

$\frac{x \frac{d y}{d x} - 34 \frac{d y}{d x} - y}{{(x - 34)}^{2}} = x - 34$

ステップ 4

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x - 34} y] = x - 34$

ステップ 5

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x - 34} y] d x = \int x - 34 d x$

ステップ 6

左辺を積分します。

$\frac{1}{x - 34} y = \int x - 34 d x$

ステップ 7

右辺を積分します。

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ステップ 7.1

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{1}{x - 34} y = \int x d x + \int - 34 d x$

ステップ 7.2

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$\frac{1}{x - 34} y = \frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 34 d x$

ステップ 7.3

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{x - 34} y = \frac{1}{2} x^{2} + C - 34 x + C$

ステップ 7.4

簡約します。

$\frac{1}{x - 34} y = \frac{1}{2} x^{2} - 34 x + C$

ステップ 8

$y$ について解きます。

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ステップ 8.1

$\frac{1}{x - 34}$ と $y$ をまとめます。

$\frac{y}{x - 34} = \frac{1}{2} x^{2} - 34 x + C$

ステップ 8.2

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\frac{y}{x - 34} = \frac{x^{2}}{2} - 34 x + C$

ステップ 8.3

両辺に $x - 34$ を掛けます。

$\frac{y}{x - 34} (x - 34) = (\frac{x^{2}}{2} - 34 x + C) (x - 34)$

ステップ 8.4

簡約します。

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ステップ 8.4.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.1.1

$x - 34$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y}{x - 34} (x - 34) = (\frac{x^{2}}{2} - 34 x + C) (x - 34)$

ステップ 8.4.1.1.2

式を書き換えます。

$y = (\frac{x^{2}}{2} - 34 x + C) (x - 34)$

ステップ 8.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.2.1

$(\frac{x^{2}}{2} - 34 x + C) (x - 34)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.2.1.1

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(\frac{x^{2}}{2} - 34 x + C) (x - 34)$ を展開します。

$y = \frac{x^{2}}{2} x + \frac{x^{2}}{2} \cdot - 34 - 34 x \cdot x - 34 x \cdot - 34 + C x + C \cdot - 34$

ステップ 8.4.2.1.2

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.2.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.2.1.2.1.1

$\frac{x^{2}}{2} x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.2.1.2.1.1.1

$\frac{x^{2}}{2}$ と $x$ をまとめます。

$y = \frac{x^{2} x}{2} + \frac{x^{2}}{2} \cdot - 34 - 34 x \cdot x - 34 x \cdot - 34 + C x + C \cdot - 34$

ステップ 8.4.2.1.2.1.1.2

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.2.1.2.1.1.2.1

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.2.1.2.1.1.2.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$y = \frac{x^{2} x^{1}}{2} + \frac{x^{2}}{2} \cdot - 34 - 34 x \cdot x - 34 x \cdot - 34 + C x + C \cdot - 34$

ステップ 8.4.2.1.2.1.1.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y = \frac{x^{2 + 1}}{2} + \frac{x^{2}}{2} \cdot - 34 - 34 x \cdot x - 34 x \cdot - 34 + C x + C \cdot - 34$

ステップ 8.4.2.1.2.1.1.2.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$y = \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2}}{2} \cdot - 34 - 34 x \cdot x - 34 x \cdot - 34 + C x + C \cdot - 34$

ステップ 8.4.2.1.2.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.2.1.2.1.2.1

$2$ を $- 34$ で因数分解します。

$y = \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2}}{2} \cdot (2 (- 17)) - 34 x \cdot x - 34 x \cdot - 34 + C x + C \cdot - 34$

ステップ 8.4.2.1.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$y = \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2}}{2} \cdot (2 \cdot - 17) - 34 x \cdot x - 34 x \cdot - 34 + C x + C \cdot - 34$

ステップ 8.4.2.1.2.1.2.3

式を書き換えます。

$y = \frac{x^{3}}{2} + x^{2} \cdot - 17 - 34 x \cdot x - 34 x \cdot - 34 + C x + C \cdot - 34$

ステップ 8.4.2.1.2.1.3

$- 17$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$y = \frac{x^{3}}{2} - 17 \cdot x^{2} - 34 x \cdot x - 34 x \cdot - 34 + C x + C \cdot - 34$

ステップ 8.4.2.1.2.1.4

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.2.1.2.1.4.1

$x$ を移動させます。

$y = \frac{x^{3}}{2} - 17 x^{2} - 34 (x \cdot x) - 34 x \cdot - 34 + C x + C \cdot - 34$

ステップ 8.4.2.1.2.1.4.2

$x$ に $x$ をかけます。

$y = \frac{x^{3}}{2} - 17 x^{2} - 34 x^{2} - 34 x \cdot - 34 + C x + C \cdot - 34$

ステップ 8.4.2.1.2.1.5

$- 34$ に $- 34$ をかけます。

$y = \frac{x^{3}}{2} - 17 x^{2} - 34 x^{2} + 1156 x + C x + C \cdot - 34$

ステップ 8.4.2.1.2.1.6

$- 34$ を $C$ の左に移動させます。

$y = \frac{x^{3}}{2} - 17 x^{2} - 34 x^{2} + 1156 x + C x - 34 C$

ステップ 8.4.2.1.2.2

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.2.1.2.2.1

$- 17 x^{2}$ から $34 x^{2}$ を引きます。

$y = \frac{x^{3}}{2} - 51 x^{2} + 1156 x + C x - 34 C$

ステップ 8.4.2.1.2.2.2

並べ替えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.2.1.2.2.2.1

$1156 x$ を移動させます。

$y = \frac{x^{3}}{2} - 51 x^{2} + C x - 34 C + 1156 x$

ステップ 8.4.2.1.2.2.2.2

$- 51 x^{2}$ を移動させます。

$y = \frac{x^{3}}{2} + C x - 51 x^{2} - 34 C + 1156 x$

微分積分 例

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