微分積分例

$x + y \frac{d y}{d x} = 2$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

$\frac{d y}{d x}$ について解きます。

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ステップ 1.1.1

方程式の両辺から $x$ を引きます。

$y \frac{d y}{d x} = 2 - x$

ステップ 1.1.2

$y \frac{d y}{d x} = 2 - x$ の各項を $y$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.1.2.1

$y \frac{d y}{d x} = 2 - x$ の各項を $y$ で割ります。

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{2}{y} + \frac{- x}{y}$

ステップ 1.1.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.1.2.2.1

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{2}{y} + \frac{- x}{y}$

ステップ 1.1.2.2.1.2

$\frac{d y}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} + \frac{- x}{y}$

ステップ 1.1.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.1.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} - \frac{x}{y}$

ステップ 1.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 - x}{y}$

ステップ 1.3

両辺に $y$ を掛けます。

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{2 - x}{y}$

ステップ 1.4

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.1

共通因数を約分します。

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{2 - x}{y}$

ステップ 1.4.2

式を書き換えます。

$y \frac{d y}{d x} = 2 - x$

ステップ 1.5

方程式を書き換えます。

$y d y = (2 - x) d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int y d y = \int 2 - x d x$

ステップ 2.2

べき乗則では、 $y$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} y^{2}$ です。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int 2 - x d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int 2 d x + \int - x d x$

ステップ 2.3.2

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 2 x + C_{2} + \int - x d x$

ステップ 2.3.3

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 2 x + C_{2} - \int x d x$

ステップ 2.3.4

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 2 x + C_{2} - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

ステップ 2.3.5

簡約します。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 2 x - \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

ステップ 2.3.6

項を並べ替えます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + C_{4}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$\frac{1}{2} y^{2} = - \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + K$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺に $2$ を掛けます。

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + K)$

ステップ 3.2

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

$2 (\frac{1}{2} y^{2})$ を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ と $y^{2}$ をまとめます。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + K)$

ステップ 3.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + K)$

ステップ 3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$y^{2} = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + K)$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$2 (- \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + K)$ を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1.1

$x^{2}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{2} + 2 x + K)$

ステップ 3.2.2.1.2

分配則を当てはめます。

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{2}) + 2 (2 x) + 2 K$

ステップ 3.2.2.1.3

簡約します。

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ステップ 3.2.2.1.3.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.1.3.1.1

$- \frac{x^{2}}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$y^{2} = 2 \frac{- x^{2}}{2} + 2 (2 x) + 2 K$

ステップ 3.2.2.1.3.1.2

共通因数を約分します。

$y^{2} = 2 \frac{- x^{2}}{2} + 2 (2 x) + 2 K$

ステップ 3.2.2.1.3.1.3

式を書き換えます。

$y^{2} = - x^{2} + 2 (2 x) + 2 K$

ステップ 3.2.2.1.3.2

$2$ に $2$ をかけます。

$y^{2} = - x^{2} + 4 x + 2 K$

ステップ 3.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \pm \sqrt{- x^{2} + 4 x + 2 K}$

ステップ 3.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 3.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = \sqrt{- x^{2} + 4 x + 2 K}$

ステップ 3.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y = - \sqrt{- x^{2} + 4 x + 2 K}$

ステップ 3.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = \sqrt{- x^{2} + 4 x + 2 K}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + 4 x + 2 K}$

$y = \sqrt{- x^{2} + 4 x + 2 K}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + 4 x + 2 K}$

$y = \sqrt{- x^{2} + 4 x + 2 K}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + 4 x + 2 K}$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$y = \sqrt{- x^{2} + 4 x + K}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + 4 x + K}$

微分積分 例

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