微分積分例

$\frac{d y}{d x} = 2 x - \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$d y = (2 x - \frac{1}{x^{2}}) d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int 2 x - \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int 2 x - \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

単一積分を複数積分に分割します。

$y + C_{1} = \int 2 x d x + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 2.3.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = 2 \int x d x + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 2.3.3

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 2.3.4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) - \int \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 2.3.5

式を簡約します。

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ステップ 2.3.5.1

$x^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) - \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

ステップ 2.3.5.2

簡約します。

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ステップ 2.3.5.2.1

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$y + C_{1} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

ステップ 2.3.5.2.2

${(x^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.3.5.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y + C_{1} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - \int x^{2 \cdot - 1} d x$

ステップ 2.3.5.2.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$y + C_{1} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - \int x^{- 2} d x$

ステップ 2.3.6

べき乗則では、 $x^{- 2}$ の $x$ に関する積分は $- x^{- 1}$ です。

$y + C_{1} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - (- x^{- 1} + C_{3})$

ステップ 2.3.7

簡約します。

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ステップ 2.3.7.1

簡約します。

$y + C_{1} = x^{2} - - x^{- 1} + C_{4}$

ステップ 2.3.7.2

簡約します。

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ステップ 2.3.7.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$y + C_{1} = x^{2} + 1 x^{- 1} + C_{4}$

ステップ 2.3.7.2.2

$x^{- 1}$ に $1$ をかけます。

$y + C_{1} = x^{2} + x^{- 1} + C_{4}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$y = x^{2} + x^{- 1} + K$

微分積分 例

微分積分例