微分積分例

$\frac{d y}{d x} = y^{\frac{1}{3}}$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

両辺に $\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}}$ を掛けます。

$\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} y^{\frac{1}{3}}$

ステップ 1.2

$y^{\frac{1}{3}}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} y^{\frac{1}{3}}$

ステップ 1.2.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} \frac{d y}{d x} = 1$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} d y = 1 d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} d y = \int d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 2.2.1.1

$y^{\frac{1}{3}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int {(y^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d y = \int d x$

ステップ 2.2.1.2

${(y^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.2.1.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int y^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d y = \int d x$

ステップ 2.2.1.2.2

$\frac{1}{3}$ と $- 1$ をまとめます。

$\int y^{\frac{- 1}{3}} d y = \int d x$

ステップ 2.2.1.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$\int y^{- \frac{1}{3}} d y = \int d x$

ステップ 2.2.2

べき乗則では、 $y^{- \frac{1}{3}}$ の $y$ に関する積分は $\frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}}$ です。

$\frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}} + C_{1} = \int d x$

ステップ 2.3

定数の法則を当てはめます。

$\frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}} + C_{1} = x + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$\frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}} = x + K$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺に $\frac{2}{3}$ を掛けます。

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}}) = \frac{2}{3} (x + K)$

ステップ 3.2

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}})$ を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1.1

$\frac{3}{2}$ と $y^{\frac{2}{3}}$ をまとめます。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 y^{\frac{2}{3}}}{2} = \frac{2}{3} (x + K)$

ステップ 3.2.1.1.2

まとめる。

$\frac{2 (3 y^{\frac{2}{3}})}{3 \cdot 2} = \frac{2}{3} (x + K)$

ステップ 3.2.1.1.3

共通因数を約分します。

$\frac{2 (3 y^{\frac{2}{3}})}{3 \cdot 2} = \frac{2}{3} (x + K)$

ステップ 3.2.1.1.4

式を書き換えます。

$\frac{3 y^{\frac{2}{3}}}{3} = \frac{2}{3} (x + K)$

ステップ 3.2.1.1.5

共通因数を約分します。

$\frac{3 y^{\frac{2}{3}}}{3} = \frac{2}{3} (x + K)$

ステップ 3.2.1.1.6

$y^{\frac{2}{3}}$ を $1$ で割ります。

$y^{\frac{2}{3}} = \frac{2}{3} (x + K)$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$\frac{2}{3} (x + K)$ を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1.1

分配則を当てはめます。

$y^{\frac{2}{3}} = \frac{2}{3} x + \frac{2}{3} K$

ステップ 3.2.2.1.2

$\frac{2}{3}$ と $x$ をまとめます。

$y^{\frac{2}{3}} = \frac{2 x}{3} + \frac{2}{3} K$

ステップ 3.2.2.1.3

$\frac{2}{3}$ と $K$ をまとめます。

$y^{\frac{2}{3}} = \frac{2 x}{3} + \frac{2 K}{3}$

ステップ 3.3

方程式の両辺を $\frac{3}{2}$ 乗し、左辺の分数指数を消去します。

${(y^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm {(\frac{2 x}{3} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

ステップ 3.4

左辺を簡約します。

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ステップ 3.4.1

${(y^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ を簡約します。

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ステップ 3.4.1.1

${(y^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.4.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm {(\frac{2 x}{3} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

ステップ 3.4.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$y^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm {(\frac{2 x}{3} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

ステップ 3.4.1.1.2.2

式を書き換えます。

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm {(\frac{2 x}{3} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

ステップ 3.4.1.1.3

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1.1.3.1

共通因数を約分します。

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm {(\frac{2 x}{3} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

ステップ 3.4.1.1.3.2

式を書き換えます。

$y^{1} = \pm {(\frac{2 x}{3} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

ステップ 3.4.1.2

簡約します。

$y = \pm {(\frac{2 x}{3} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

ステップ 3.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 3.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = {(\frac{2 x}{3} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

ステップ 3.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y = - {(\frac{2 x}{3} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

ステップ 3.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = {(\frac{2 x}{3} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

$y = - {(\frac{2 x}{3} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

$y = {(\frac{2 x}{3} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

$y = - {(\frac{2 x}{3} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

$y = {(\frac{2 x}{3} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

$y = - {(\frac{2 x}{3} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$y = {(\frac{2 x}{3} + K)}^{\frac{3}{2}}$

$y = - {(\frac{2 x}{3} + K)}^{\frac{3}{2}}$

微分積分 例

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