微分積分例

$\frac{d y}{d x} = 10 x^{2} y + 5 x^{2} + 6 y + 3$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

因数分解。

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ステップ 1.1.1

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 1.1.1.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$\frac{d y}{d x} = (10 x^{2} y + 5 x^{2}) + 6 y + 3$

ステップ 1.1.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = 5 x^{2} (2 y + 1) + 3 (2 y + 1)$

ステップ 1.1.2

最大公約数 $2 y + 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = (2 y + 1) (5 x^{2} + 3)$

ステップ 1.2

両辺に $\frac{1}{2 y + 1}$ を掛けます。

$\frac{1}{2 y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y + 1} ((2 y + 1) (5 x^{2} + 3))$

ステップ 1.3

$2 y + 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2 y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y + 1} ((2 y + 1) (5 x^{2} + 3))$

ステップ 1.3.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{2 y + 1} \frac{d y}{d x} = 5 x^{2} + 3$

ステップ 1.4

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{2 y + 1} d y = (5 x^{2} + 3) d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{2 y + 1} d y = \int 5 x^{2} + 3 d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

$u = 2 y + 1$ とします。次に $d u = 2 d y$ すると、 $\frac{1}{2} d u = d y$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.2.1.1

$u = 2 y + 1$ とします。 $\frac{d u}{d y}$ を求めます。

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ステップ 2.2.1.1.1

$2 y + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [2 y + 1]$

ステップ 2.2.1.1.2

総和則では、 $2 y + 1$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1]$ です。

$\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1]$

ステップ 2.2.1.1.3

$\frac{d}{d y} [2 y]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1.1.3.1

$2$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $2 y$ の微分係数は $2 \frac{d}{d y} [y]$ です。

$2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

ステップ 2.2.1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1]$

ステップ 2.2.1.1.3.3

$2$ に $1$ をかけます。

$2 + \frac{d}{d y} [1]$

ステップ 2.2.1.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 2.2.1.1.4.1

$1$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$2 + 0$

ステップ 2.2.1.1.4.2

$2$ と $0$ をたし算します。

$2$

ステップ 2.2.1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int 5 x^{2} + 3 d x$

ステップ 2.2.2

簡約します。

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ステップ 2.2.2.1

$\frac{1}{u}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int 5 x^{2} + 3 d x$

ステップ 2.2.2.2

$2$ を $u$ の左に移動させます。

$\int \frac{1}{2 u} d u = \int 5 x^{2} + 3 d x$

ステップ 2.2.3

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int 5 x^{2} + 3 d x$

ステップ 2.2.4

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int 5 x^{2} + 3 d x$

ステップ 2.2.5

簡約します。

$\frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int 5 x^{2} + 3 d x$

ステップ 2.2.6

$u$ のすべての発生を $2 y + 1$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 1 |) + C_{1} = \int 5 x^{2} + 3 d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 1 |) + C_{1} = \int 5 x^{2} d x + \int 3 d x$

ステップ 2.3.2

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $5$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 1 |) + C_{1} = 5 \int x^{2} d x + \int 3 d x$

ステップ 2.3.3

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 1 |) + C_{1} = 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + \int 3 d x$

ステップ 2.3.4

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 1 |) + C_{1} = 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + 3 x + C_{3}$

ステップ 2.3.5

簡約します。

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ステップ 2.3.5.1

$\frac{1}{3}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 1 |) + C_{1} = 5 (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) + 3 x + C_{3}$

ステップ 2.3.5.2

簡約します。

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 1 |) + C_{1} = \frac{5 x^{3}}{3} + 3 x + C_{4}$

ステップ 2.3.5.3

項を並べ替えます。

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 1 |) + C_{1} = \frac{5}{3} x^{3} + 3 x + C_{4}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 1 |) = \frac{5}{3} x^{3} + 3 x + C$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺に $2$ を掛けます。

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 1 |)) = 2 (\frac{5}{3} x^{3} + 3 x + C)$

ステップ 3.2

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 1 |))$ を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ と $\ln (| 2 y + 1 |)$ をまとめます。

$2 \frac{\ln (| 2 y + 1 |)}{2} = 2 (\frac{5}{3} x^{3} + 3 x + C)$

ステップ 3.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{\ln (| 2 y + 1 |)}{2} = 2 (\frac{5}{3} x^{3} + 3 x + C)$

ステップ 3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$\ln (| 2 y + 1 |) = 2 (\frac{5}{3} x^{3} + 3 x + C)$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$2 (\frac{5}{3} x^{3} + 3 x + C)$ を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1.1

$\frac{5}{3}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$\ln (| 2 y + 1 |) = 2 (\frac{5 x^{3}}{3} + 3 x + C)$

ステップ 3.2.2.1.2

分配則を当てはめます。

$\ln (| 2 y + 1 |) = 2 \frac{5 x^{3}}{3} + 2 (3 x) + 2 C$

ステップ 3.2.2.1.3

簡約します。

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ステップ 3.2.2.1.3.1

$2 \frac{5 x^{3}}{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.3.1.1

$2$ と $\frac{5 x^{3}}{3}$ をまとめます。

$\ln (| 2 y + 1 |) = \frac{2 (5 x^{3})}{3} + 2 (3 x) + 2 C$

ステップ 3.2.2.1.3.1.2

$5$ に $2$ をかけます。

$\ln (| 2 y + 1 |) = \frac{10 x^{3}}{3} + 2 (3 x) + 2 C$

ステップ 3.2.2.1.3.2

$3$ に $2$ をかけます。

$\ln (| 2 y + 1 |) = \frac{10 x^{3}}{3} + 6 x + 2 C$

ステップ 3.3

$y$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (| 2 y + 1 |)} = e^{\frac{10 x^{3}}{3} + 6 x + 2 C}$

ステップ 3.4

対数の定義を利用して $\ln (| 2 y + 1 |) = \frac{10 x^{3}}{3} + 6 x + 2 C$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{\frac{10 x^{3}}{3} + 6 x + 2 C} = | 2 y + 1 |$

ステップ 3.5

$y$ について解きます。

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ステップ 3.5.1

方程式を $| 2 y + 1 | = e^{\frac{10 x^{3}}{3} + 6 x + 2 C}$ として書き換えます。

$| 2 y + 1 | = e^{\frac{10 x^{3}}{3} + 6 x + 2 C}$

ステップ 3.5.2

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$2 y + 1 = \pm e^{\frac{10 x^{3}}{3} + 6 x + 2 C}$

ステップ 3.5.3

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$2 y = \pm e^{\frac{10 x^{3}}{3} + 6 x + 2 C} - 1$

ステップ 3.5.4

$2 y = \pm e^{\frac{10 x^{3}}{3} + 6 x + 2 C} - 1$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.5.4.1

$2 y = \pm e^{\frac{10 x^{3}}{3} + 6 x + 2 C} - 1$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 y}{2} = \frac{\pm e^{\frac{10 x^{3}}{3} + 6 x + 2 C}}{2} + \frac{- 1}{2}$

ステップ 3.5.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.4.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 y}{2} = \frac{\pm e^{\frac{10 x^{3}}{3} + 6 x + 2 C}}{2} + \frac{- 1}{2}$

ステップ 3.5.4.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\pm e^{\frac{10 x^{3}}{3} + 6 x + 2 C}}{2} + \frac{- 1}{2}$

ステップ 3.5.4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.4.3.1

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{\pm e^{\frac{10 x^{3}}{3} + 6 x + 2 C} - 1}{2}$

ステップ 3.5.4.3.2

各項を簡約します。

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ステップ 3.5.4.3.2.1

$6 x$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$y = \frac{\pm e^{\frac{10 x^{3}}{3} + 6 x \cdot \frac{3}{3} + 2 C} - 1}{2}$

ステップ 3.5.4.3.2.2

$6 x$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$y = \frac{\pm e^{\frac{10 x^{3}}{3} + \frac{6 x \cdot 3}{3} + 2 C} - 1}{2}$

ステップ 3.5.4.3.2.3

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{\pm e^{\frac{10 x^{3} + 6 x \cdot 3}{3} + 2 C} - 1}{2}$

ステップ 3.5.4.3.2.4

分子を簡約します。

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ステップ 3.5.4.3.2.4.1

$2 x$ を $10 x^{3} + 6 x \cdot 3$ で因数分解します。

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ステップ 3.5.4.3.2.4.1.1

$2 x$ を $10 x^{3}$ で因数分解します。

$y = \frac{\pm e^{\frac{2 x (5 x^{2}) + 6 x \cdot 3}{3} + 2 C} - 1}{2}$

ステップ 3.5.4.3.2.4.1.2

$2 x$ を $6 x \cdot 3$ で因数分解します。

$y = \frac{\pm e^{\frac{2 x (5 x^{2}) + 2 x (3 \cdot 3)}{3} + 2 C} - 1}{2}$

ステップ 3.5.4.3.2.4.1.3

$2 x$ を $2 x (5 x^{2}) + 2 x (3 \cdot 3)$ で因数分解します。

$y = \frac{\pm e^{\frac{2 x (5 x^{2} + 3 \cdot 3)}{3} + 2 C} - 1}{2}$

ステップ 3.5.4.3.2.4.2

$3$ に $3$ をかけます。

$y = \frac{\pm e^{\frac{2 x (5 x^{2} + 9)}{3} + 2 C} - 1}{2}$

ステップ 3.5.4.3.2.5

$2 C$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$y = \frac{\pm e^{\frac{2 x (5 x^{2} + 9)}{3} + 2 C \cdot \frac{3}{3}} - 1}{2}$

ステップ 3.5.4.3.2.6

$2 C$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$y = \frac{\pm e^{\frac{2 x (5 x^{2} + 9)}{3} + \frac{2 C \cdot 3}{3}} - 1}{2}$

ステップ 3.5.4.3.2.7

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{\pm e^{\frac{2 x (5 x^{2} + 9) + 2 C \cdot 3}{3}} - 1}{2}$

ステップ 3.5.4.3.2.8

分子を簡約します。

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ステップ 3.5.4.3.2.8.1

$2$ を $2 x (5 x^{2} + 9) + 2 C \cdot 3$ で因数分解します。

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ステップ 3.5.4.3.2.8.1.1

$2$ を $2 x (5 x^{2} + 9)$ で因数分解します。

$y = \frac{\pm e^{\frac{2 (x (5 x^{2} + 9)) + 2 C \cdot 3}{3}} - 1}{2}$

ステップ 3.5.4.3.2.8.1.2

$2$ を $2 C \cdot 3$ で因数分解します。

$y = \frac{\pm e^{\frac{2 (x (5 x^{2} + 9)) + 2 (C \cdot 3)}{3}} - 1}{2}$

ステップ 3.5.4.3.2.8.1.3

$2$ を $2 (x (5 x^{2} + 9)) + 2 (C \cdot 3)$ で因数分解します。

$y = \frac{\pm e^{\frac{2 (x (5 x^{2} + 9) + C \cdot 3)}{3}} - 1}{2}$

ステップ 3.5.4.3.2.8.2

分配則を当てはめます。

$y = \frac{\pm e^{\frac{2 (x (5 x^{2}) + x \cdot 9 + C \cdot 3)}{3}} - 1}{2}$

ステップ 3.5.4.3.2.8.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$y = \frac{\pm e^{\frac{2 (5 x \cdot x^{2} + x \cdot 9 + C \cdot 3)}{3}} - 1}{2}$

ステップ 3.5.4.3.2.8.4

$9$ を $x$ の左に移動させます。

$y = \frac{\pm e^{\frac{2 (5 x \cdot x^{2} + 9 \cdot x + C \cdot 3)}{3}} - 1}{2}$

ステップ 3.5.4.3.2.8.5

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

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ステップ 3.5.4.3.2.8.5.1

$x^{2}$ を移動させます。

$y = \frac{\pm e^{\frac{2 (5 (x^{2} x) + 9 \cdot x + C \cdot 3)}{3}} - 1}{2}$

ステップ 3.5.4.3.2.8.5.2

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.4.3.2.8.5.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$y = \frac{\pm e^{\frac{2 (5 (x^{2} x^{1}) + 9 \cdot x + C \cdot 3)}{3}} - 1}{2}$

ステップ 3.5.4.3.2.8.5.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y = \frac{\pm e^{\frac{2 (5 x^{2 + 1} + 9 \cdot x + C \cdot 3)}{3}} - 1}{2}$

ステップ 3.5.4.3.2.8.5.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$y = \frac{\pm e^{\frac{2 (5 x^{3} + 9 \cdot x + C \cdot 3)}{3}} - 1}{2}$

$y = \frac{\pm e^{\frac{2 (5 x^{3} + 9 x + C \cdot 3)}{3}} - 1}{2}$

ステップ 3.5.4.3.2.8.6

$3$ を $C$ の左に移動させます。

$y = \frac{\pm e^{\frac{2 (5 x^{3} + 9 x + 3 C)}{3}} - 1}{2}$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$y = \frac{\pm e^{\frac{2 (5 x^{3} + 9 x + C)}{3}} - 1}{2}$

微分積分 例

微分積分例