微分積分例

$(e^{2 x} + 5) d y + y e^{2 x} d x = 0$

ステップ 1

方程式の両辺から $y e^{2 x} d x$ を引きます。

$(e^{2 x} + 5) d y = - y e^{2 x} d x$

ステップ 2

両辺に $\frac{1}{(e^{2 x} + 5) y}$ を掛けます。

$\frac{1}{(e^{2 x} + 5) y} (e^{2 x} + 5) d y = \frac{1}{(e^{2 x} + 5) y} (- y e^{2 x}) d x$

ステップ 3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$e^{2 x} + 5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

$e^{2 x} + 5$ を $(e^{2 x} + 5) y$ で因数分解します。

$\frac{1}{(e^{2 x} + 5) (y)} (e^{2 x} + 5) d y = \frac{1}{(e^{2 x} + 5) y} (- y e^{2 x}) d x$

ステップ 3.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{(e^{2 x} + 5) y} (e^{2 x} + 5) d y = \frac{1}{(e^{2 x} + 5) y} (- y e^{2 x}) d x$

ステップ 3.1.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{(e^{2 x} + 5) y} (- y e^{2 x}) d x$

ステップ 3.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{1}{y} d y = - \frac{1}{(e^{2 x} + 5) y} (y e^{2 x}) d x$

ステップ 3.3

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$- \frac{1}{(e^{2 x} + 5) y}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{(e^{2 x} + 5) y} (y e^{2 x}) d x$

ステップ 3.3.2

$y$ を $(e^{2 x} + 5) y$ で因数分解します。

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y (e^{2 x} + 5)} (y e^{2 x}) d x$

ステップ 3.3.3

$y$ を $y e^{2 x}$ で因数分解します。

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y (e^{2 x} + 5)} (y (e^{2 x})) d x$

ステップ 3.3.4

共通因数を約分します。

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y (e^{2 x} + 5)} (y e^{2 x}) d x$

ステップ 3.3.5

式を書き換えます。

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{e^{2 x} + 5} e^{2 x} d x$

ステップ 3.4

$\frac{- 1}{e^{2 x} + 5}$ と $e^{2 x}$ をまとめます。

$\frac{1}{y} d y = \frac{- e^{2 x}}{e^{2 x} + 5} d x$

ステップ 3.5

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{y} d y = - \frac{e^{2 x}}{e^{2 x} + 5} d x$

ステップ 4

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{e^{2 x}}{e^{2 x} + 5} d x$

ステップ 4.2

$\frac{1}{y}$ の $y$ に関する積分は $\ln (| y |)$ です。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{e^{2 x}}{e^{2 x} + 5} d x$

ステップ 4.3

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{e^{2 x}}{e^{2 x} + 5} d x$

ステップ 4.3.2

$u_{2} = e^{2 x} + 5$ とします。次に $d u_{2} = 2 e^{2 x} d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{2} = e^{2 x} d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

$u_{2} = e^{2 x} + 5$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.1

$e^{2 x} + 5$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} + 5]$

ステップ 4.3.2.1.2

総和則では、 $e^{2 x} + 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [5]$ です。

$\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 4.3.2.1.3

$\frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.3.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $2 x$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 4.3.2.1.3.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 4.3.2.1.3.1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 4.3.2.1.3.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 4.3.2.1.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{2 x} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 4.3.2.1.3.4

$2$ に $1$ をかけます。

$e^{2 x} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 4.3.2.1.3.5

$2$ を $e^{2 x}$ の左に移動させます。

$2 e^{2 x} + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 4.3.2.1.4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.4.1

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$2 e^{2 x} + 0$

ステップ 4.3.2.1.4.2

$2 e^{2 x}$ と $0$ をたし算します。

$2 e^{2 x}$

ステップ 4.3.2.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

ステップ 4.3.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.1

$\frac{1}{u_{2}}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

ステップ 4.3.3.2

$2$ を $u_{2}$ の左に移動させます。

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

ステップ 4.3.4

$\frac{1}{2}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

ステップ 4.3.5

$\frac{1}{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\ln (| u_{2} |)$ です。

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

ステップ 4.3.6

簡約します。

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

ステップ 4.3.7

$u_{2}$ のすべての発生を $e^{2 x} + 5$ で置き換えます。

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| e^{2 x} + 5 |) + C_{2}$

ステップ 4.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\ln (| y |) = - \frac{1}{2} \ln (| e^{2 x} + 5 |) + C$

微分積分 例

微分積分例