微分積分例

$\frac{d y}{d x} = y x (x + 4)$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

両辺に $\frac{1}{y}$ を掛けます。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y x (x + 4))$

ステップ 1.2

簡約します。

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ステップ 1.2.1

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.1.1

$y$ を $y x (x + 4)$ で因数分解します。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (x (x + 4)))$

ステップ 1.2.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (x (x + 4)))$

ステップ 1.2.1.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = x (x + 4)$

ステップ 1.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = x \cdot x + x \cdot 4$

ステップ 1.2.3

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = x^{2} + x \cdot 4$

ステップ 1.2.4

$4$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = x^{2} + 4 x$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{y} d y = (x^{2} + 4 x) d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{y} d y = \int x^{2} + 4 x d x$

ステップ 2.2

$\frac{1}{y}$ の $y$ に関する積分は $\ln (| y |)$ です。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{2} + 4 x d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

単一積分を複数積分に分割します。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{2} d x + \int 4 x d x$

ステップ 2.3.2

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + \int 4 x d x$

ステップ 2.3.3

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + 4 \int x d x$

ステップ 2.3.4

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

ステップ 2.3.5

簡約します。

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ステップ 2.3.5.1

簡約します。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + 4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

ステップ 2.3.5.2

簡約します。

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ステップ 2.3.5.2.1

$4$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{4}{2} x^{2} + C_{4}$

ステップ 2.3.5.2.2

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.5.2.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{2 \cdot 2}{2} x^{2} + C_{4}$

ステップ 2.3.5.2.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.5.2.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} x^{2} + C_{4}$

ステップ 2.3.5.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{4}$

ステップ 2.3.5.2.2.2.3

式を書き換えます。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{2}{1} x^{2} + C_{4}$

ステップ 2.3.5.2.2.2.4

$2$ を $1$ で割ります。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + 2 x^{2} + C_{4}$

ステップ 2.3.6

項を並べ替えます。

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + C_{4}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\ln (| y |) = 2 x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + C$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

$y$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (| y |)} = e^{2 x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + C}$

ステップ 3.2

対数の定義を利用して $\ln (| y |) = 2 x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + C$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{2 x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + C} = | y |$

ステップ 3.3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.3.1

方程式を $| y | = e^{2 x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + C}$ として書き換えます。

$| y | = e^{2 x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + C}$

ステップ 3.3.2

$\frac{1}{3}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$| y | = e^{2 x^{2} + \frac{x^{3}}{3} + C}$

ステップ 3.3.3

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$y = \pm e^{2 x^{2} + \frac{x^{3}}{3} + C}$

ステップ 4

定数項をまとめます。

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ステップ 4.1

$e^{2 x^{2} + \frac{x^{3}}{3} + C}$ を $e^{2 x^{2} + \frac{x^{3}}{3}} e^{C}$ に書き換えます。

$y = \pm e^{2 x^{2} + \frac{x^{3}}{3}} e^{C}$

ステップ 4.2

$e^{2 x^{2} + \frac{x^{3}}{3}}$ と $e^{C}$ を並べ替えます。

$y = \pm e^{C} e^{2 x^{2} + \frac{x^{3}}{3}}$

ステップ 4.3

定数を正または負でまとめます。

$y = C e^{2 x^{2} + \frac{x^{3}}{3}}$

微分積分 例

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