微分積分例

$(1 + \ln (x) + \frac{y}{x}) d x - (1 - \ln (x)) d y = 0$

ステップ 1

$M (x, y) = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

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ステップ 1.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1 + \ln (x) + \frac{y}{x}]$

ステップ 1.2

微分します。

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ステップ 1.2.1

総和則では、 $1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [\ln (x)] + \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [\ln (x)] + \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$

ステップ 1.2.2

$1$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [\ln (x)] + \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$

ステップ 1.2.3

$\ln (x)$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $\ln (x)$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 0 + \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.1

$\frac{1}{x}$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $\frac{y}{x}$ の微分係数は $\frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 0 + \frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 0 + \frac{1}{x} \cdot 1$

ステップ 1.3.3

$\frac{1}{x}$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 0 + \frac{1}{x}$

ステップ 1.4

項をまとめます。

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ステップ 1.4.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{1}{x}$

ステップ 1.4.2

$0$ と $\frac{1}{x}$ をたし算します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x}$

ステップ 2

$N (x, y) = - (1 - \ln (x))$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

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ステップ 2.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (1 - \ln (x))]$

ステップ 2.2

微分します。

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ステップ 2.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- (1 - \ln (x))$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [1 - \ln (x)]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [1 - \ln (x)]$

ステップ 2.2.2

総和則では、 $1 - \ln (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)])$

ステップ 2.2.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (0 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)])$

ステップ 2.2.4

$0$ と $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ をたし算します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

ステップ 2.2.5

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \ln (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

ステップ 2.2.6

掛け算します。

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ステップ 2.2.6.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

ステップ 2.2.6.2

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

ステップ 2.3

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{x}$

ステップ 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

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ステップ 3.1

$\frac{1}{x}$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $\frac{1}{x}$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$\frac{1}{x} = \frac{1}{x}$

ステップ 3.2

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$\frac{1}{x} = \frac{1}{x}$ は恒等式です。

ステップ 4

$f (x, y)$ は $N (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int - (1 - \ln (x)) d y$

ステップ 5

$N (x, y) = - (1 - \ln (x))$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

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ステップ 5.1

定数の法則を当てはめます。

$f (x, y) = - (1 - \ln (x)) y + C$

ステップ 5.2

$- (1 - \ln (x)) y + C$ を $(- 1 + \ln (x)) y + C$ に書き換えます。

$f (x, y) = (- 1 + \ln (x)) y + C$

ステップ 6

$g (x)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (x)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = (- 1 + \ln (x)) y + g (x)$

ステップ 7

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial x} = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

ステップ 8

$\frac{\partial f}{\partial x}$ を求めます。

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ステップ 8.1

$x$ に関して $f$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [(- 1 + \ln (x)) y + g (x)] = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

ステップ 8.2

総和則では、 $(- 1 + \ln (x)) y + g (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [(- 1 + \ln (x)) y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [(- 1 + \ln (x)) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

ステップ 8.3

$\frac{d}{d x} [(- 1 + \ln (x)) y]$ の値を求めます。

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ステップ 8.3.1

$y$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $(- 1 + \ln (x)) y$ の微分係数は $y \frac{d}{d x} [- 1 + \ln (x)]$ です。

$y \frac{d}{d x} [- 1 + \ln (x)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

ステップ 8.3.2

総和則では、 $- 1 + \ln (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ です。

$y (\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

ステップ 8.3.3

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$y (0 + \frac{d}{d x} [\ln (x)]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

ステップ 8.3.4

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$y (0 + \frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

ステップ 8.3.5

$0$ と $\frac{1}{x}$ をたし算します。

$y \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

ステップ 8.3.6

$y$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\frac{y}{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

ステップ 8.4

$g (x)$ の微分係数は $\frac{d g}{d x}$ であるという関数の規則を使って微分します。

$\frac{y}{x} + \frac{d g}{d x} = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

ステップ 8.5

項を並べ替えます。

$\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x} = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

ステップ 9

$\frac{d g}{d x}$ について解きます。

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ステップ 9.1

$\frac{d g}{d x}$ について解きます。

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ステップ 9.1.1

変数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 9.1.1.1

方程式の両辺から $\ln (x)$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x} - \ln (x) = 1 + \frac{y}{x}$

ステップ 9.1.1.2

方程式の両辺から $\frac{y}{x}$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x} - \ln (x) - \frac{y}{x} = 1$

ステップ 9.1.1.3

$\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x} - \ln (x) - \frac{y}{x}$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 9.1.1.3.1

$\frac{y}{x}$ から $\frac{y}{x}$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} + 0 - \ln (x) = 1$

ステップ 9.1.1.3.2

$\frac{d g}{d x}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d g}{d x} - \ln (x) = 1$

ステップ 9.1.2

方程式の両辺に $\ln (x)$ を足します。

$\frac{d g}{d x} = 1 + \ln (x)$

ステップ 10

$1 + \ln (x)$ の不定積分を求めて $g (x)$ を求めます。

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ステップ 10.1

$\frac{d g}{d x} = 1 + \ln (x)$ の両辺を積分します。

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 1 + \ln (x) d x$

ステップ 10.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ の値を求めます。

$g (x) = \int 1 + \ln (x) d x$

ステップ 10.3

単一積分を複数積分に分割します。

$g (x) = \int d x + \int \ln (x) d x$

ステップ 10.4

定数の法則を当てはめます。

$g (x) = x + C + \int \ln (x) d x$

ステップ 10.5

$u = \ln (x)$ と $d v = 1$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$g (x) = x + C + \ln (x) x - \int x \frac{1}{x} d x$

ステップ 10.6

簡約します。

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ステップ 10.6.1

$x$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$g (x) = x + C + \ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x$

ステップ 10.6.2

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 10.6.2.1

共通因数を約分します。

$g (x) = x + C + \ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x$

ステップ 10.6.2.2

式を書き換えます。

$g (x) = x + C + \ln (x) x - \int d x$

ステップ 10.7

定数の法則を当てはめます。

$g (x) = x + C + \ln (x) x - (x + C)$

ステップ 10.8

簡約します。

$g (x) = x + \ln (x) x - x + C$

ステップ 10.9

簡約します。

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ステップ 10.9.1

$x$ から $x$ を引きます。

$g (x) = \ln (x) x + 0 + C$

ステップ 10.9.2

$\ln (x) x$ と $0$ をたし算します。

$g (x) = \ln (x) x + C$

ステップ 11

$f (x, y) = (- 1 + \ln (x)) y + g (x)$ の $g (x)$ に代入します。

$f (x, y) = (- 1 + \ln (x)) y + \ln (x) x + C$

ステップ 12

$f (x, y) = (- 1 + \ln (x)) y + \ln (x) x + C$ を簡約します。

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ステップ 12.1

各項を簡約します。

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ステップ 12.1.1

分配則を当てはめます。

$f (x, y) = - 1 y + \ln (x) y + \ln (x) x + C$

ステップ 12.1.2

$- 1 y$ を $- y$ に書き換えます。

$f (x, y) = - y + \ln (x) y + \ln (x) x + C$

ステップ 12.2

$f (x, y) = - y + \ln (x) y + \ln (x) x + C$ の因数を並べ替えます。

$f (x, y) = - y + y \ln (x) + x \ln (x) + C$

微分積分 例

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