微分積分例

$\frac{d y}{d x} - y = y^{3}$

ステップ 1

微分方程式を解くために、 $n$ が $y^{3}$ の指数のとき、 $v = y^{1 - n}$ とします。

$v = y^{- 2}$

ステップ 2

$y$ について方程式を解きます。

$y = v^{- \frac{1}{2}}$

ステップ 3

$x$ に関する $y$ の微分係数を取ります。

$y' = v^{- \frac{1}{2}}$

ステップ 4

$x$ に関する $v^{- \frac{1}{2}}$ の微分係数を取ります。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$v^{- \frac{1}{2}}$ に微分係数を取ります。

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- \frac{1}{2}}]$

ステップ 4.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}]$

ステップ 4.3

$f (x) = 1$ および $g (x) = v^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{{(v^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 4.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{{(v^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 4.4.2

${(v^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 4.4.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.2.2.1

共通因数を約分します。

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 4.4.2.2.2

式を書き換えます。

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v^{1}}$

ステップ 4.5

簡約します。

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

ステップ 4.6

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.6.1

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

ステップ 4.6.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.6.2.1

$v^{\frac{1}{2}}$ に $0$ をかけます。

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

ステップ 4.6.2.2

$0$ から $\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]$ を引きます。

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

ステップ 4.6.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

ステップ 4.7

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = v$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.7.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $v$ とします。

$y' = - \frac{\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [v]}{v}$

ステップ 4.7.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$y' = - \frac{\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

ステップ 4.7.3

$u_{1}$ のすべての発生を $v$ で置き換えます。

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

ステップ 4.8

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

ステップ 4.9

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

ステップ 4.10

公分母の分子をまとめます。

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

ステップ 4.11

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.11.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

ステップ 4.11.2

$1$ から $2$ を引きます。

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

ステップ 4.12

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

ステップ 4.13

$\frac{1}{2}$ と $v^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$y' = - \frac{\frac{v^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

ステップ 4.14

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $v^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$y' = - \frac{\frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

ステップ 4.15

$\frac{d}{d x} [v]$ を $v'$ に書き換えます。

$y' = - \frac{\frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}} v'}{v}$

ステップ 4.16

$\frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}}$ と $v'$ をまとめます。

$y' = - \frac{\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}}}{v}$

ステップ 4.17

$\frac{\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}}}{v}$ を積として書き換えます。

$y' = - (\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{v})$

ステップ 4.18

$\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}}$ に $\frac{1}{v}$ をかけます。

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}} v}$

ステップ 4.19

$v$ を $1$ 乗します。

$y' = - \frac{v'}{2 (v^{1} v^{\frac{1}{2}})}$

ステップ 4.20

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y' = - \frac{v'}{2 v^{1 + \frac{1}{2}}}$

ステップ 4.21

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

ステップ 4.22

公分母の分子をまとめます。

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{2 + 1}{2}}}$

ステップ 4.23

$2$ と $1$ をたし算します。

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 5

元の方程式 $\frac{d y}{d x} - y = y^{3}$ の $- \frac{v'}{2 v^{\frac{3}{2}}}$ を $\frac{d y}{d x}$ に、 $v^{- \frac{1}{2}}$ を $y$ に代入します。

$- \frac{v'}{2 v^{\frac{3}{2}}} - v^{- \frac{1}{2}} = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$

ステップ 6

代入された微分方程式の解を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

変数を分けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

$\frac{d v}{d x}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.1.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} = 0$

ステップ 6.1.1.1.2

${(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.1.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - v^{- \frac{1}{2} \cdot 3} = 0$

ステップ 6.1.1.1.2.2

$- \frac{1}{2} \cdot 3$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.1.2.2.1

$3$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - v^{- 3 (\frac{1}{2})} = 0$

ステップ 6.1.1.1.2.2.2

$- 3$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - v^{\frac{- 3}{2}} = 0$

ステップ 6.1.1.1.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - v^{- \frac{3}{2}} = 0$

ステップ 6.1.1.1.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}} = 0$

ステップ 6.1.1.2

$\frac{d v}{d x}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.2.1

方程式の両辺に $\frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}$ を足します。

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 6.1.1.2.2

方程式の両辺に $\frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}$ を足します。

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 6.1.1.3

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.3.1

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}}}{- 1} = \frac{\frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}}{- 1} + \frac{\frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}}{- 1}$

ステップ 6.1.1.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.3.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{\frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}}}{1} = \frac{\frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}}{- 1} + \frac{\frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}}{- 1}$

ステップ 6.1.1.3.2.2

$\frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}}$ を $1$ で割ります。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} = \frac{\frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}}{- 1} + \frac{\frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}}{- 1}$

ステップ 6.1.1.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.3.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.3.3.1.1

$\frac{\frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} = - 1 \cdot \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} + \frac{\frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}}{- 1}$

ステップ 6.1.1.3.3.1.2

$- 1 \cdot \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}$ を $- \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}$ に書き換えます。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} = - \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} + \frac{\frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}}{- 1}$

ステップ 6.1.1.3.3.1.3

$\frac{\frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} = - \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 6.1.1.3.3.1.4

$- 1 \cdot \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}$ を $- \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}$ に書き換えます。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} = - \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 6.1.1.4

両辺に $2 v^{\frac{3}{2}}$ を掛けます。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}}) = (- \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}) (2 v^{\frac{3}{2}})$

ステップ 6.1.1.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.5.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.5.1.1

$\frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}})$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.5.1.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$2 \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} v^{\frac{3}{2}} = (- \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}) (2 v^{\frac{3}{2}})$

ステップ 6.1.1.5.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.5.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} v^{\frac{3}{2}} = (- \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}) (2 v^{\frac{3}{2}})$

ステップ 6.1.1.5.1.1.2.2

式を書き換えます。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{\frac{3}{2}}} v^{\frac{3}{2}} = (- \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}) (2 v^{\frac{3}{2}})$

ステップ 6.1.1.5.1.1.3

$v^{\frac{3}{2}}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.5.1.1.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{\frac{3}{2}}} v^{\frac{3}{2}} = (- \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}) (2 v^{\frac{3}{2}})$

ステップ 6.1.1.5.1.1.3.2

式を書き換えます。

$\frac{d v}{d x} = (- \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}) (2 v^{\frac{3}{2}})$

ステップ 6.1.1.5.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.5.2.1

$(- \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}) (2 v^{\frac{3}{2}})$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.5.2.1.1

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.5.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{d v}{d x} = - \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}}) - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}})$

ステップ 6.1.1.5.2.1.1.2

$v^{\frac{1}{2}}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.5.2.1.1.2.1

$- \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{d v}{d x} = \frac{- 1}{v^{\frac{1}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}}) - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}})$

ステップ 6.1.1.5.2.1.1.2.2

$v^{\frac{1}{2}}$ を $2 v^{\frac{3}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{d v}{d x} = \frac{- 1}{v^{\frac{1}{2}}} (v^{\frac{1}{2}} (2 v^{\frac{2}{2}})) - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}})$

ステップ 6.1.1.5.2.1.1.2.3

共通因数を約分します。

$\frac{d v}{d x} = \frac{- 1}{v^{\frac{1}{2}}} (v^{\frac{1}{2}} (2 v^{\frac{2}{2}})) - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}})$

ステップ 6.1.1.5.2.1.1.2.4

式を書き換えます。

$\frac{d v}{d x} = - 1 (2 v^{\frac{2}{2}}) - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}})$

ステップ 6.1.1.5.2.1.1.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{d v}{d x} = - 2 v^{\frac{2}{2}} - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}})$

ステップ 6.1.1.5.2.1.1.4

$v^{\frac{3}{2}}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.5.2.1.1.4.1

$- \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{d v}{d x} = - 2 v^{\frac{2}{2}} + \frac{- 1}{v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}})$

ステップ 6.1.1.5.2.1.1.4.2

$v^{\frac{3}{2}}$ を $2 v^{\frac{3}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{d v}{d x} = - 2 v^{\frac{2}{2}} + \frac{- 1}{v^{\frac{3}{2}}} (v^{\frac{3}{2}} \cdot 2)$

ステップ 6.1.1.5.2.1.1.4.3

共通因数を約分します。

$\frac{d v}{d x} = - 2 v^{\frac{2}{2}} + \frac{- 1}{v^{\frac{3}{2}}} (v^{\frac{3}{2}} \cdot 2)$

ステップ 6.1.1.5.2.1.1.4.4

式を書き換えます。

$\frac{d v}{d x} = - 2 v^{\frac{2}{2}} - 1 \cdot 2$

ステップ 6.1.1.5.2.1.1.5

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{d v}{d x} = - 2 v^{\frac{2}{2}} - 2$

ステップ 6.1.1.5.2.1.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.5.2.1.2.1

$2$ を $2$ で割ります。

$\frac{d v}{d x} = - 2 v^{1} - 2$

ステップ 6.1.1.5.2.1.2.2

簡約します。

$\frac{d v}{d x} = - 2 v - 2$

ステップ 6.1.2

両辺に $\frac{1}{- 2 v - 2}$ を掛けます。

$\frac{1}{- 2 v - 2} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{- 2 v - 2} (- 2 v - 2)$

ステップ 6.1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.3.1

$2$ を $- 2 v - 2$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.3.1.1

$2$ を $- 2 v$ で因数分解します。

$\frac{1}{- 2 v - 2} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{2 (- v) - 2} (- 2 v - 2)$

ステップ 6.1.3.1.2

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$\frac{1}{- 2 v - 2} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{2 (- v) + 2 (- 1)} (- 2 v - 2)$

ステップ 6.1.3.1.3

$2$ を $2 (- v) + 2 (- 1)$ で因数分解します。

$\frac{1}{- 2 v - 2} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{2 (- v - 1)} (- 2 v - 2)$

ステップ 6.1.3.2

$\frac{1}{2 (- v - 1)}$ に $- 2 v - 2$ をかけます。

$\frac{1}{- 2 v - 2} \frac{d v}{d x} = \frac{- 2 v - 2}{2 (- v - 1)}$

ステップ 6.1.3.3

$- 2 v - 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.3.3.1

$2$ を $- 2 v$ で因数分解します。

$\frac{1}{- 2 v - 2} \frac{d v}{d x} = \frac{2 (- v) - 2}{2 (- v - 1)}$

ステップ 6.1.3.3.2

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$\frac{1}{- 2 v - 2} \frac{d v}{d x} = \frac{2 (- v) + 2 \cdot - 1}{2 (- v - 1)}$

ステップ 6.1.3.3.3

$2$ を $2 (- v) + 2 (- 1)$ で因数分解します。

$\frac{1}{- 2 v - 2} \frac{d v}{d x} = \frac{2 (- v - 1)}{2 (- v - 1)}$

ステップ 6.1.3.3.4

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.3.3.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{- 2 v - 2} \frac{d v}{d x} = \frac{2 (- v - 1)}{2 (- v - 1)}$

ステップ 6.1.3.3.4.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{- 2 v - 2} \frac{d v}{d x} = \frac{- v - 1}{- v - 1}$

ステップ 6.1.3.4

$- v - 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.3.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{- 2 v - 2} \frac{d v}{d x} = \frac{- v - 1}{- v - 1}$

ステップ 6.1.3.4.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{- 2 v - 2} \frac{d v}{d x} = 1$

ステップ 6.1.4

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{- 2 v - 2} d v = 1 d x$

ステップ 6.2

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{- 2 v - 2} d v = \int d x$

ステップ 6.2.2

左辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$u_{2} = - 2 v - 2$ とします。次に $d u_{2} = - 2 d v$ すると、 $- \frac{1}{2} d u_{2} = d v$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1.1

$u_{2} = - 2 v - 2$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d v}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1.1.1

$- 2 v - 2$ を微分します。

$\frac{d}{d v} [- 2 v - 2]$

ステップ 6.2.2.1.1.2

総和則では、 $- 2 v - 2$ の $v$ に関する積分は $\frac{d}{d v} [- 2 v] + \frac{d}{d v} [- 2]$ です。

$\frac{d}{d v} [- 2 v] + \frac{d}{d v} [- 2]$

ステップ 6.2.2.1.1.3

$\frac{d}{d v} [- 2 v]$ の値を求めます。

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ステップ 6.2.2.1.1.3.1

$- 2$ は $v$ に対して定数なので、 $v$ に対する $- 2 v$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d v} [v]$ です。

$- 2 \frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [- 2]$

ステップ 6.2.2.1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ は $n v^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 \cdot 1 + \frac{d}{d v} [- 2]$

ステップ 6.2.2.1.1.3.3

$- 2$ に $1$ をかけます。

$- 2 + \frac{d}{d v} [- 2]$

ステップ 6.2.2.1.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 6.2.2.1.1.4.1

$- 2$ は $v$ について定数なので、 $v$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$- 2 + 0$

ステップ 6.2.2.1.1.4.2

$- 2$ と $0$ をたし算します。

$- 2$

ステップ 6.2.2.1.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{- 2} d u_{2} = \int d x$

ステップ 6.2.2.2

簡約します。

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ステップ 6.2.2.2.1

分数の前に負数を移動させます。

$\int \frac{1}{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2} = \int d x$

ステップ 6.2.2.2.2

$\frac{1}{u_{2}}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\int - \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2} = \int d x$

ステップ 6.2.2.2.3

$2$ を $u_{2}$ の左に移動させます。

$\int - \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2} = \int d x$

ステップ 6.2.2.3

$- 1$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2} = \int d x$

ステップ 6.2.2.4

$\frac{1}{2}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}) = \int d x$

ステップ 6.2.2.5

$\frac{1}{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\ln (| u_{2} |)$ です。

$- \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{1}) = \int d x$

ステップ 6.2.2.6

簡約します。

$- \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{1} = \int d x$

ステップ 6.2.2.7

$u_{2}$ のすべての発生を $- 2 v - 2$ で置き換えます。

$- \frac{1}{2} \ln (| - 2 v - 2 |) + C_{1} = \int d x$

ステップ 6.2.3

定数の法則を当てはめます。

$- \frac{1}{2} \ln (| - 2 v - 2 |) + C_{1} = x + C_{2}$

ステップ 6.2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$- \frac{1}{2} \ln (| - 2 v - 2 |) = x + C$

ステップ 6.3

$v$ について解きます。

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ステップ 6.3.1

方程式の両辺に $- 2$ を掛けます。

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| - 2 v - 2 |)) = - 2 (x + C)$

ステップ 6.3.2

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 6.3.2.1

左辺を簡約します。

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ステップ 6.3.2.1.1

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| - 2 v - 2 |))$ を簡約します。

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ステップ 6.3.2.1.1.1

$\ln (| - 2 v - 2 |)$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$- 2 (- \frac{\ln (| - 2 v - 2 |)}{2}) = - 2 (x + C)$

ステップ 6.3.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.3.2.1.1.2.1

$- \frac{\ln (| - 2 v - 2 |)}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$- 2 \frac{- \ln (| - 2 v - 2 |)}{2} = - 2 (x + C)$

ステップ 6.3.2.1.1.2.2

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$2 (- 1) \frac{- \ln (| - 2 v - 2 |)}{2} = - 2 (x + C)$

ステップ 6.3.2.1.1.2.3

共通因数を約分します。

$2 \cdot - 1 \frac{- \ln (| - 2 v - 2 |)}{2} = - 2 (x + C)$

ステップ 6.3.2.1.1.2.4

式を書き換えます。

$- - \ln (| - 2 v - 2 |) = - 2 (x + C)$

ステップ 6.3.2.1.1.3

掛け算します。

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ステップ 6.3.2.1.1.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 \ln (| - 2 v - 2 |) = - 2 (x + C)$

ステップ 6.3.2.1.1.3.2

$\ln (| - 2 v - 2 |)$ に $1$ をかけます。

$\ln (| - 2 v - 2 |) = - 2 (x + C)$

ステップ 6.3.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 6.3.2.2.1

分配則を当てはめます。

$\ln (| - 2 v - 2 |) = - 2 x - 2 C$

ステップ 6.3.3

$v$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (| - 2 v - 2 |)} = e^{- 2 x - 2 C}$

ステップ 6.3.4

対数の定義を利用して $\ln (| - 2 v - 2 |) = - 2 x - 2 C$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{- 2 x - 2 C} = | - 2 v - 2 |$

ステップ 6.3.5

$v$ について解きます。

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ステップ 6.3.5.1

方程式を $| - 2 v - 2 | = e^{- 2 x - 2 C}$ として書き換えます。

$| - 2 v - 2 | = e^{- 2 x - 2 C}$

ステップ 6.3.5.2

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$- 2 v - 2 = \pm e^{- 2 x - 2 C}$

ステップ 6.3.5.3

方程式の両辺に $2$ を足します。

$- 2 v = \pm e^{- 2 x - 2 C} + 2$

ステップ 6.3.5.4

$- 2 v = \pm e^{- 2 x - 2 C} + 2$ の各項を $- 2$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.3.5.4.1

$- 2 v = \pm e^{- 2 x - 2 C} + 2$ の各項を $- 2$ で割ります。

$\frac{- 2 v}{- 2} = \frac{\pm e^{- 2 x - 2 C}}{- 2} + \frac{2}{- 2}$

ステップ 6.3.5.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.3.5.4.2.1

$- 2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.3.5.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 2 v}{- 2} = \frac{\pm e^{- 2 x - 2 C}}{- 2} + \frac{2}{- 2}$

ステップ 6.3.5.4.2.1.2

$v$ を $1$ で割ります。

$v = \frac{\pm e^{- 2 x - 2 C}}{- 2} + \frac{2}{- 2}$

ステップ 6.3.5.4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 6.3.5.4.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.3.5.4.3.1.1

$\frac{\pm e^{- 2 x - 2 C}}{- 2}$ を簡約します。

$v = \frac{\pm e^{- 2 x - 2 C}}{2} + \frac{2}{- 2}$

ステップ 6.3.5.4.3.1.2

$2$ を $- 2$ で割ります。

$v = \frac{\pm e^{- 2 x - 2 C}}{2} - 1$

ステップ 6.3.5.4.3.2

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$v = \frac{\pm e^{- 2 x - 2 C}}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 6.3.5.4.3.3

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$v = \frac{\pm e^{- 2 x - 2 C}}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

ステップ 6.3.5.4.3.4

公分母の分子をまとめます。

$v = \frac{\pm e^{- 2 x - 2 C} - 1 \cdot 2}{2}$

ステップ 6.3.5.4.3.5

$- 1$ に $2$ をかけます。

$v = \frac{\pm e^{- 2 x - 2 C} - 2}{2}$

ステップ 6.4

定数項をまとめます。

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ステップ 6.4.1

積分定数を簡約します。

$v = \frac{\pm e^{- 2 x + C} - 2}{2}$

ステップ 6.4.2

$e^{- 2 x + C}$ を $e^{- 2 x} e^{C}$ に書き換えます。

$v = \frac{\pm e^{- 2 x} e^{C} - 2}{2}$

ステップ 6.4.3

$e^{- 2 x}$ と $e^{C}$ を並べ替えます。

$v = \frac{\pm e^{C} e^{- 2 x} - 2}{2}$

ステップ 6.4.4

定数を正または負でまとめます。

$v = \frac{C e^{- 2 x} - 2}{2}$

ステップ 7

$y^{- 2}$ を $v$ に代入します。

$y^{- 2} = \frac{C e^{- 2 x} - 2}{2}$

微分積分 例

微分積分例