微分積分例

$(2 x - y - 3) d x - (x + 4 y + 3) d y = 0$

ステップ 1

$M (x, y) = 2 x - y - 3$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x - y - 3]$

ステップ 1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

総和則では、 $2 x - y - 3$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [- 3]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [- 3]$

ステップ 1.2.2

$2 x$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $2 x$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [- 3]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d y} [- y]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $- y$ の微分係数は $- \frac{d}{d y} [y]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 3]$

ステップ 1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 3]$

ステップ 1.3.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 1 + \frac{d}{d y} [- 3]$

ステップ 1.4

$- 3$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 1 + 0$

ステップ 1.5

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

$0$ から $1$ を引きます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 1 + 0$

ステップ 1.5.2

$- 1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 1$

ステップ 2

$N (x, y) = - (x + 4 y + 3)$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (x + 4 y + 3)]$

ステップ 2.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- (x + 4 y + 3)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x + 4 y + 3]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [x + 4 y + 3]$

ステップ 2.3

総和則では、 $x + 4 y + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [3])$

ステップ 2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (1 + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [3])$

ステップ 2.5

$4 y$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4 y$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (1 + 0 + \frac{d}{d x} [3])$

ステップ 2.6

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (1 + \frac{d}{d x} [3])$

ステップ 2.7

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (1 + 0)$

ステップ 2.8

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1 \cdot 1$

ステップ 2.8.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1$

ステップ 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$- 1$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $- 1$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$- 1 = - 1$

ステップ 3.2

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$- 1 = - 1$ は恒等式です。

ステップ 4

$f (x, y)$ は $N (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int - (x + 4 y + 3) d y$

ステップ 5

$N (x, y) = - (x + 4 y + 3)$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$f (x, y) = - \int x + 4 y + 3 d y$

ステップ 5.2

単一積分を複数積分に分割します。

$f (x, y) = - (\int x d y + \int 4 y d y + \int 3 d y)$

ステップ 5.3

定数の法則を当てはめます。

$f (x, y) = - (x y + C + \int 4 y d y + \int 3 d y)$

ステップ 5.4

$4$ は $y$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$f (x, y) = - (x y + C + 4 \int y d y + \int 3 d y)$

ステップ 5.5

べき乗則では、 $y$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} y^{2}$ です。

$f (x, y) = - (x y + C + 4 (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int 3 d y)$

ステップ 5.6

定数の法則を当てはめます。

$f (x, y) = - (x y + C + 4 (\frac{1}{2} y^{2} + C) + 3 y + C)$

ステップ 5.7

$\frac{1}{2}$ と $y^{2}$ をまとめます。

$f (x, y) = - (x y + C + 4 (\frac{y^{2}}{2} + C) + 3 y + C)$

ステップ 5.8

簡約します。

$f (x, y) = - (x y + 2 y^{2} + 3 y) + C$

ステップ 6

$g (x)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (x)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = - (x y + 2 y^{2} + 3 y) + g (x)$

ステップ 7

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x - y - 3$

ステップ 8

$\frac{\partial f}{\partial x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$x$ に関して $f$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [- (x y + 2 y^{2} + 3 y) + g (x)] = 2 x - y - 3$

ステップ 8.2

総和則では、 $- (x y + 2 y^{2} + 3 y) + g (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- (x y + 2 y^{2} + 3 y)] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [- (x y + 2 y^{2} + 3 y)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x - y - 3$

ステップ 8.3

$\frac{d}{d x} [- (x y + 2 y^{2} + 3 y)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- (x y + 2 y^{2} + 3 y)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x y + 2 y^{2} + 3 y]$ です。

$- \frac{d}{d x} [x y + 2 y^{2} + 3 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x - y - 3$

ステップ 8.3.2

総和則では、 $x y + 2 y^{2} + 3 y$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y]$ です。

$- (\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x - y - 3$

ステップ 8.3.3

$y$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $x y$ の微分係数は $y \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- (y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x - y - 3$

ステップ 8.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- (y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x - y - 3$

ステップ 8.3.5

$2 y^{2}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2 y^{2}$ の微分係数は $0$ です。

$- (y \cdot 1 + 0 + \frac{d}{d x} [3 y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x - y - 3$

ステップ 8.3.6

$3 y$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3 y$ の微分係数は $0$ です。

$- (y \cdot 1 + 0 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x - y - 3$

ステップ 8.3.7

$y$ に $1$ をかけます。

$- (y + 0 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x - y - 3$

ステップ 8.3.8

$y$ と $0$ をたし算します。

$- (y + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x - y - 3$

ステップ 8.3.9

$y$ と $0$ をたし算します。

$- y + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x - y - 3$

ステップ 8.4

$g (x)$ の微分係数は $\frac{d g}{d x}$ であるという関数の規則を使って微分します。

$- y + \frac{d g}{d x} = 2 x - y - 3$

ステップ 8.5

項を並べ替えます。

$\frac{d g}{d x} - y = 2 x - y - 3$

ステップ 9

$\frac{d g}{d x}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

$\frac{d g}{d x}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

方程式の両辺に $y$ を足します。

$\frac{d g}{d x} = 2 x - y - 3 + y$

ステップ 9.1.2

$2 x - y - 3 + y$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.2.1

$- y$ と $y$ をたし算します。

$\frac{d g}{d x} = 2 x + 0 - 3$

ステップ 9.1.2.2

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d g}{d x} = 2 x - 3$

ステップ 10

$2 x - 3$ の不定積分を求めて $g (x)$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

$\frac{d g}{d x} = 2 x - 3$ の両辺を積分します。

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 2 x - 3 d x$

ステップ 10.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ の値を求めます。

$g (x) = \int 2 x - 3 d x$

ステップ 10.3

単一積分を複数積分に分割します。

$g (x) = \int 2 x d x + \int - 3 d x$

ステップ 10.4

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$g (x) = 2 \int x d x + \int - 3 d x$

ステップ 10.5

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$g (x) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 3 d x$

ステップ 10.6

定数の法則を当てはめます。

$g (x) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 3 x + C$

ステップ 10.7

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$g (x) = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 3 x + C$

ステップ 10.8

簡約します。

$g (x) = x^{2} - 3 x + C$

ステップ 11

$f (x, y) = - (x y + 2 y^{2} + 3 y) + g (x)$ の $g (x)$ に代入します。

$f (x, y) = - (x y + 2 y^{2} + 3 y) + x^{2} - 3 x + C$

ステップ 12

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

分配則を当てはめます。

$f (x, y) = - (x y) - (2 y^{2}) - (3 y) + x^{2} - 3 x + C$

ステップ 12.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f (x, y) = - x y - 2 y^{2} - (3 y) + x^{2} - 3 x + C$

ステップ 12.2.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$f (x, y) = - x y - 2 y^{2} - 3 y + x^{2} - 3 x + C$

微分積分 例

微分積分例